Em um jogo de computador, idealizado na tela por um plano cartesiano, o herói encontra-se no ponto (-3,2) e precisa salvar a princesa no castelo, representado pelo ponto (2,5), do outro lado de um estreito rio, representado pelo eixo das ordenadas. O objetivo do jogo é fazer esse caminho o mais rápido possível. Nessas condições, em que ponto do plano ele deverá cruzar o rio a fim de minimizar o tempo de viagem?
Admita que a velocidade do herói seja igual para qualquer movimento.

Passo 1

O problema pede encontrar o ponto (0,y) no eixo das ordenadas que minimize a soma das distâncias de (-3,2) a (0,y) mais de (0,y) a (2,5). Como a velocidade é constante, minimizar tempo equivale a minimizar distância total.

Passo 2

Definimos a função distância total f(y) como
f(y)=raiz(-3-0)^2+(2-y)^2+raiz(2-0)^2+(5-y)^2 = raiz9+(y-2)^2+raiz4+(5-y)^2

Passo 3

Para encontrar o mínimo, derivamos f(y) em relação a y e igualamos a zero. Primeiro, calculamos
f'(y)=y-2raiz9+(y-2)^2+y-5raiz4+(5-y)^2=0

Passo 4

Para simplificar, fazemos u=y-2 e v=5-y, logo v=3-u. A equação fica
uraiz9+u^2=3-uraiz4+(3-u)^2
Elevando ao quadrado e reorganizando, obtemos a equação quadrática
5u^2-54u+81=0,
cuja solução é u=1.8 ou u=9.

Passo 5

Voltando a y, temos y=u+2, logo as duas soluções críticas são y=1.8+2=3.8 e y=9+2=11. Para determinar qual dá mínimo, comparamos as distâncias totais: em y=3.8 obtemos cerca de 5.83 unidades, e em y=11 cerca de 15.81. Portanto o mínimo ocorre em y=3.8.

Resposta

O herói deve cruzar o rio no ponto (0,,3.8), isto é, (0,,19/5).

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