Em um jogo de computador, idealizado na tela por um plano cartesiano, o herói encontra-se no ponto
e precisa salvar a princesa no castelo, representado pelo ponto
, do outro lado de um estreito rio, representado pelo eixo das ordenadas. O objetivo do jogo é fazer esse caminho o mais rápido possível. Nessas condições, em que ponto do plano ele deverá cruzar o rio a fim de minimizar o tempo de viagem?
Admita que a velocidade do herói seja igual para qualquer movimento.
Admita que a velocidade do herói seja igual para qualquer movimento.
Passo 1
O problema pede encontrar o ponto
no eixo das ordenadas que minimize a soma das distâncias de
a
mais de
a
. Como a velocidade é constante, minimizar tempo equivale a minimizar distância total.
Passo 2
Definimos a função distância total
como
Passo 3
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Primeiro, calculamos
Passo 4
Para simplificar, fazemos
e
, logo
. A equação fica
Elevando ao quadrado e reorganizando, obtemos a equação quadrática
cuja solução é
ou
.
Passo 5
Voltando a
, temos
, logo as duas soluções críticas são
e
. Para determinar qual dá mínimo, comparamos as distâncias totais: em
obtemos cerca de
unidades, e em
cerca de
. Portanto o mínimo ocorre em
.
Resposta
O herói deve cruzar o rio no ponto
, isto é,
.