Num jogo de dados, A paga $20,00 a B e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados apenas, A ganha $20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, A ganha $50,00, e se sair 1 nos três dados, A ganha $80,00. Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada.
Passo 1
Tá, o problema é o seguinte: o jogador A paga R$20 para B antes de jogar 3 dados. Aí, dependendo de quantos “1” saírem nos três dados, A recebe de volta um valor:
- exatamente um “1”: ganha R$20
- exatamente dois “1”: ganha R$50
- três “1”: ganha R$80
Se não sair nenhum “1”, ele não ganha nada. A pergunta é: qual o lucro líquido médio do A por jogada?
Conteúdo envolvido: distribuição binomial (pra achar a probabilidade de sair k “1” em 3 dados) e valor esperado (pra calcular o lucro médio).
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável aleatória N = “número de uns nos 3 dados”. Como cada dado é independente e a chance de sair “1” em cada um é p=1/6, N segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=1/6. A fórmula da probabilidade de exatamente k “sucessos” (aqui, “1”) é:
onde
.
Passo 3
Vamos calcular cada probabilidade:
- k = 0 (nenhum “1”):
- k = 1 (exatamente um “1”):
- k = 2 (exatamente dois “1”):
- k = 3 (três “1”):
Passo 4
Agora, associamos a cada k o lucro líquido X(k). Lembra que A já pagou R$20 no começo, então:
- k = 0: ele não recebe nada, mas já gastou 20 → X(0) = –20
- k = 1: recebe 20, mas já gastou 20 → X(1) = 0
- k = 2: recebe 50, menos os 20 pagos → X(2) = 30
- k = 3: recebe 80, menos os 20 pagos → X(3) = 60
Para achar o lucro médio, usamos o valor esperado:
Passo 5
Substituindo tudo:
Calculemos passo a passo:
Somando tudo:
Resposta
O lucro líquido médio de A numa jogada é
Ou seja, em média A perde R$9,21 por partida.