Num jogo de dados, A paga $20,00 a B e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados apenas, A ganha $20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, A ganha $50,00, e se sair 1 nos três dados, A ganha $80,00. Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada.

Passo 1

Tá, o problema é o seguinte: o jogador A paga R$20 para B antes de jogar 3 dados. Aí, dependendo de quantos “1” saírem nos três dados, A recebe de volta um valor:
  • exatamente um “1”: ganha R$20
  • exatamente dois “1”: ganha R$50
  • três “1”: ganha R$80
    Se não sair nenhum “1”, ele não ganha nada. A pergunta é: qual o lucro líquido médio do A por jogada?
    Conteúdo envolvido: distribuição binomial (pra achar a probabilidade de sair k “1” em 3 dados) e valor esperado (pra calcular o lucro médio).

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável aleatória N = “número de uns nos 3 dados”. Como cada dado é independente e a chance de sair “1” em cada um é p=1/6, N segue uma distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=1/6. A fórmula da probabilidade de exatamente k “sucessos” (aqui, “1”) é:
P(N = k) = binom3k l(tfrac16r)^k l(tfrac56r)^3-k,
onde
.

Passo 3

Vamos calcular cada probabilidade:
  1. k = 0 (nenhum “1”):
P(N=0) = binom30l(tfrac16r)^0l(tfrac56r)^3 = 1 times 1 times 125216 = 125216
  1. k = 1 (exatamente um “1”):
P(N=1) = binom31l(tfrac16r)^1l(tfrac56r)^2 = 3 times 16 times 2536 = 75216
  1. k = 2 (exatamente dois “1”):
P(N=2) = binom32l(tfrac16r)^2l(tfrac56r)^1 = 3 times 136 times 56 = 15216
  1. k = 3 (três “1”):
P(N=3) = binom33l(tfrac16r)^3l(tfrac56r)^0 = 1 times 1216 times 1 = 1216

Passo 4

Agora, associamos a cada k o lucro líquido X(k). Lembra que A já pagou R$20 no começo, então:
  • k = 0: ele não recebe nada, mas já gastou 20 → X(0) = –20
  • k = 1: recebe 20, mas já gastou 20 → X(1) = 0
  • k = 2: recebe 50, menos os 20 pagos → X(2) = 30
  • k = 3: recebe 80, menos os 20 pagos → X(3) = 60
Para achar o lucro médio, usamos o valor esperado:
E[X] = sumk=0^3 X(k),P(N=k)

Passo 5

Substituindo tudo:
E[X] = (-20),125216 + 0 times 75216 + 30,15216 + 60,1216
Calculemos passo a passo:
(-20),125216 = -2500216, 30,15216 = 450216, 60,1216 = 60216
Somando tudo:
E[X] = -2500216 + 450216 + 60216 = -1990216 approx -9,21

Resposta

O lucro líquido médio de A numa jogada é
E[X] = -tfrac1990216 approx -9,21
Ou seja, em média A perde R$9,21 por partida.

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