Uma moeda honesta é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem entre 8 (inclusive) e 10 (inclusive) caras?

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente lança uma moeda honesta (probabilidade de “cara” é 0,5) 20 vezes e quer saber qual a chance de sair entre 8 e 10 caras (ou seja, exatamente 8 ou 9 ou 10 caras).
Conteúdo da matéria: distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  • A fórmula da probabilidade binomial: quantos jeitos de ter k sucessos em n tentativas, e
  • A fórmula de combinação .

Passo 2

Fórmula da distribuição binomial:
Se P(X=k);=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k é o número de “sucessos” (caras) em lançamentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso, então
Aqui, , e queremos .

Passo 3

Calcular as combinações binom20k=20!k!,(20-k)! , que contam de quantos jeitos podemos escolher binom208 = 125,970, binom209 = 167,960, binom2010 = 184,756 caras em 20 lançamentos:
Especificamente:

Passo 4

Agora cada probabilidade:
P(X=8) =binom208(0,5)^8(0,5)^12 =125,970,(0,5)^20 approx 0,1201,
P(X=9) =167,960,(0,5)^20 approx 0,1602,
P(X=10) =184,756,(0,5)^20 approx 0,1762

Passo 5

Somando as três partes dá a probabilidade de sair entre 8 e 10 caras:
P(8<= X<=10) =P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) approx 0,1201 + 0,1602 + 0,1762 =0,4565

Resposta

A probabilidade de saírem entre 8 e 10 caras em 20 lançamentos de uma moeda honesta é aproximadamente
boxed0,4565(ou 45,65%)

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