Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual implicação dentro da equivalência
não é válida e fornecer um contraexemplo explícito (um par
que mostra a falsidade da implicação). As informações dadas são apenas que
.
O objetivo é testar as duas direções:
O objetivo é testar as duas direções:
- Direção (I):
. - Direção (II):
.
Passo 2
Conceito-chave: comportamento da função
.
Vou explicar de forma bem direta e com exemplo: a operação “elevar ao quadrado” transforma um número em seu valor absoluto ao quadrado, ou seja,
Isto é útil porque a desigualdade entre quadrados só diz respeito às magnitudes (valores absolutos), não aos sinais. Portanto, qualquer afirmação que relacione ordenação direta (menor/maior) com quadrados precisa levar em conta o sinal de
e
.
Observações importantes sobre monotonicidade:
- Na reta inteira, a função
NÃO é monotônica: ela cresce quando (é crescente em ) e cresce também quando no sentido de magnitude, mas em termos de ordenação real, em ela é decrescente (isto é, se então ). - Assim, sem restrição de sinal, não se pode trocar livremente
por .
Passo 3
Testando a Direção (I):
.
Vou dar um contraexemplo explícito. Tome
Verificações:
Agora calcule os quadrados:
Observa-se que
ou seja,
é falso. Portanto a implicação
é falsa (contraexemplo dado).
Explicação didática: aqui ambos
e
são negativos; ao aumentar
num intervalo negativo (de
para
), o quadrado diminui — por isso a desigualdade entre quadrados fica invertida.
Passo 4
Testando a Direção (II):
.
Também dou um contraexemplo explícito. Tome
Verificações:
logo
ou seja,
é verdadeiro. Agora verifique
:
Portanto a implicação
também é falsa (contraexemplo dado).
Explicação didática: aqui
(pois
) mas os sinais são diferentes; ter menor quadrado não garante que o número seja menor na ordem usual — pode ser maior se
for positivo e
negativo.
Passo 5
Resumo das conclusões e condições em que a equivalência vale.
- Ambas as direções da equivalência são falsas no conjunto geral
: tanto quanto podem falhar. Dei contraexemplos para as duas implicações. - Entretanto, a equivalência
torna-se verdadeira se impusermos que
e
são ambos não negativos, isto é, se
. Nesse caso a função
é estritamente crescente em
e então
- Se ambos são não positivos (ambos
), então a desigualdade se inverte ao passar para os quadrados: para ,
Pequena motivação prática: quando aparecer comparação envolvendo quadrados, primeiro verificar os sinais de
e
ou passar para módulos com a igualdade
.
Resposta
A implicação
é falsa. Contraexemplo:
(temos
mas
).
A implicação também é falsa. Contraexemplo:
(temos
mas
).
A implicação