Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(c) a<b \Longleftrightarrow a^{2}<b^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual implicação dentro da equivalência
a<b \Longleftrightarrow a^{2}<b^{2}
não é válida e fornecer um contraexemplo explícito (um par (a,b)\in\mathbb{R}^2 que mostra a falsidade da implicação). As informações dadas são apenas que a,b\in\mathbb{R}.
O objetivo é testar as duas direções:
  • Direção (I): a<b \Rightarrow a^{2}<b^{2}.
  • Direção (II): a^{2}<b^{2} \Rightarrow a<b.

Passo 2

Conceito-chave: comportamento da função x\mapsto x^{2}.
Vou explicar de forma bem direta e com exemplo: a operação “elevar ao quadrado” transforma um número em seu valor absoluto ao quadrado, ou seja,
a^{2}<b^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad |a|<|b|.
Isto é útil porque a desigualdade entre quadrados só diz respeito às magnitudes (valores absolutos), não aos sinais. Portanto, qualquer afirmação que relacione ordenação direta (menor/maior) com quadrados precisa levar em conta o sinal de a e b.
Observações importantes sobre monotonicidade:
  • Na reta inteira, a função x\mapsto x^{2} NÃO é monotônica: ela cresce quando x\ge0 (é crescente em [0,\infty)) e cresce também quando x\le0 no sentido de magnitude, mas em termos de ordenação real, em (-\infty,0] ela é decrescente (isto é, se x_1<x_2\le0 então x_1^{2}>x_2^{2}).
  • Assim, sem restrição de sinal, não se pode trocar livremente a<b por a^{2}<b^{2}.

Passo 3

Testando a Direção (I): a<b \Rightarrow a^{2}<b^{2}.
Vou dar um contraexemplo explícito. Tome
a=-2,\qquad b=-1.
Verificações:
a<b\quad\text{pois}\quad -2<-1\\ \text{(verdadeiro).}
Agora calcule os quadrados:
a^{2}=(-2)^{2}=4,\qquad b^{2}=(-1)^{2}=1.
Observa-se que
a^{2}=4 \not< 1 = b^{2},
ou seja, a^{2}<b^{2} é falso. Portanto a implicação a<b \Rightarrow a^{2}<b^{2} é falsa (contraexemplo dado).
Explicação didática: aqui ambos a e b são negativos; ao aumentar x num intervalo negativo (de -2 para -1), o quadrado diminui — por isso a desigualdade entre quadrados fica invertida.

Passo 4

Testando a Direção (II): a^{2}<b^{2} \Rightarrow a<b.
Também dou um contraexemplo explícito. Tome
a=1,\qquad b=-2.
Verificações:
a^{2}=1^{2}=1,\qquad b^{2}=(-2)^{2}=4,
logo
a^{2}=1 < 4 = b^{2},
ou seja, a^{2}<b^{2} é verdadeiro. Agora verifique a<b:
1<-2\\ \text{é falso}.é
Portanto a implicação a^{2}<b^{2} \Rightarrow a<b também é falsa (contraexemplo dado).
Explicação didática: aqui |a|<|b| (pois 1<2) mas os sinais são diferentes; ter menor quadrado não garante que o número seja menor na ordem usual — pode ser maior se a for positivo e b negativo.

Passo 5

Resumo das conclusões e condições em que a equivalência vale.
  • Ambas as direções da equivalência são falsas no conjunto geral \mathbb{R}: tanto a<b \Rightarrow a^{2}<b^{2} quanto a^{2}<b^{2} \Rightarrow a<b podem falhar. Dei contraexemplos para as duas implicações.
  • Entretanto, a equivalência
a<b \Longleftrightarrow a^{2}<b^{2}
torna-se verdadeira se impusermos que a e b são ambos não negativos, isto é, se a,b\ge0. Nesse caso a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente em [0,\infty) e então
a<b \iff a^{2}<b^{2}\quad\text{para }a,b\ge0.
  • Se ambos são não positivos (ambos \le0), então a desigualdade se inverte ao passar para os quadrados: para a,b\le0,
a<b \iff a^{2}>b^{2}.
Pequena motivação prática: quando aparecer comparação envolvendo quadrados, primeiro verificar os sinais de a e b ou passar para módulos com a igualdade a^{2}<b^{2}\iff |a|<|b|.

Resposta

A implicação a<b \Rightarrow a^{2}<b^{2} é falsa. Contraexemplo: a=-2,\\ b=-1 (temos -2<-1 mas 4\not<1).
A implicação a^{2}<b^{2} \Rightarrow a<b também é falsa. Contraexemplo: a=1,\\ b=-2 (temos 1<4 mas 1\not<-2).

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