Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
.
(f) Se
, as asserções a seguir são equivalentes: A)
B)
.
(f) Se
Passo 1
O enunciado diz que
e apresenta duas asserções sobre
:
A)
B)
B)
A tarefa é encontrar qual implicação dentro da afirmação “A e B são equivalentes” não vale. Ou seja, verificar se A
B e se B
A, e, caso alguma delas falhe, dar um contraexemplo explícito (com
inteiro) que mostra a falha.
Passo 2
Vamos primeiro entender a asserção A, resolvendo a desigualdade
.
Uma fração
é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Aqui o numerador é
e o denominador é
. Além disso, atenção: o denominador não pode ser zero, logo
.
Caso 1: ambos positivos
Mas
segue de
, então esse caso dá a condição
.
Caso 2: ambos negativos
A segunda desigualdade dá
. Juntando com
obtemos
.
Combinando os dois casos e lembrando que
, a solução da desigualdade é
Como estamos assumindo
, isto significa que A é verdadeira para
.
Passo 3
Agora verifico se B implica A. Suponha que
. Então
, logo numerador e denominador são positivos. Assim
Portanto
é verdadeira (para qualquer
, e portanto também para
).
Passo 4
Verifico agora se A implica B. Pela solução da desigualdade no Passo 2, A é verdadeira quando
ou quando
. Logo existem inteiros que satisfazem A mas não satisfazem B (porque B exige
). Basta dar um exemplo específico para mostrar que A
B falha.
Escolho
(que é um inteiro e não é
). Calculo:
ou seja, A é verdadeira para
. Mas claramente
não satisfaz B, pois
. Portanto A não implica B.
Passo 5
Conclusão: a equivalência completa A
B é falsa porque a implicação A
B não vale. Um contraexemplo explícito é
.
Resposta
A
B não vale. Contraexemplo:
, pois
(A verdadeira) e
(B falsa).