Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(f) Se x \in \mathbb{Z}, as asserções a seguir são equivalentes: A) \frac{x}{x+1}>0 B) x>0.

Passo 1

O enunciado diz que x\in\mathbb{Z} e apresenta duas asserções sobre x:
A) \dfrac{x}{x+1}>0
B) x>0
A tarefa é encontrar qual implicação dentro da afirmação “A e B são equivalentes” não vale. Ou seja, verificar se A \Rightarrow B e se B \Rightarrow A, e, caso alguma delas falhe, dar um contraexemplo explícito (com x inteiro) que mostra a falha.

Passo 2

Vamos primeiro entender a asserção A, resolvendo a desigualdade \dfrac{x}{x+1}>0.
Uma fração \dfrac{p}{q} é positiva quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Aqui o numerador é x e o denominador é x+1. Além disso, atenção: o denominador não pode ser zero, logo x\neq-1.
Caso 1: ambos positivos
x>0 \quad\text{e}\quad x+1>0.
Mas x+1>0 segue de x>0, então esse caso dá a condição x>0.
Caso 2: ambos negativos
x<0 \quad\text{e}\quad x+1<0.
A segunda desigualdade dá x<-1. Juntando com x<0 obtemos x<-1.
Combinando os dois casos e lembrando que x\neq-1, a solução da desigualdade é
x>0 \quad\text{ou}\quad x<-1.
Como estamos assumindo x\in\mathbb{Z}, isto significa que A é verdadeira para x\in\{\dots,-3,-2\}\cup\{1,2,3,\dots\}.

Passo 3

Agora verifico se B implica A. Suponha que x>0. Então x+1>1>0, logo numerador e denominador são positivos. Assim
x>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{x+1}>0.
Portanto \text{B} \Rightarrow \text{A} é verdadeira (para qualquer x, e portanto também para x\in\mathbb{Z}).

Passo 4

Verifico agora se A implica B. Pela solução da desigualdade no Passo 2, A é verdadeira quando x>0 ou quando x<-1. Logo existem inteiros que satisfazem A mas não satisfazem B (porque B exige x>0). Basta dar um exemplo específico para mostrar que A \Rightarrow B falha.
Escolho x=-2 (que é um inteiro e não é -1). Calculo:
\frac{x}{x+1}=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2>0,
ou seja, A é verdadeira para x=-2. Mas claramente x=-2 não satisfaz B, pois -2\not>0. Portanto A não implica B.

Passo 5

Conclusão: a equivalência completa A \Leftrightarrow B é falsa porque a implicação A \Rightarrow B não vale. Um contraexemplo explícito é x=-2.

Resposta

A \Rightarrow B não vale. Contraexemplo: x=-2, pois \dfrac{-2}{-2+1}=\dfrac{-2}{-1}=2>0 (A verdadeira) e -2\not>0 (B falsa).

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