Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue, a, b, x, y \in \mathbb{R}.
(h) (x-y) \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq y.

Passo 1

O enunciado nos dá a “equivalência”
(x-y)\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge y,
com x,y\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar, entre as duas implicações que compõem essa equivalência, alguma que não seja válida; se alguma for inválida, dar um contraexemplo explícito. Listei as informações relevantes:
  • Variáveis: x,y\in\mathbb{R}.
  • A equivalência se desmembra em duas implicações separadas:
    1. (x-y)\ge 0 \Rightarrow x\ge y.
    2. x\ge y \Rightarrow (x-y)\ge 0.
      O próximo passo é verificar cada uma delas.

Passo 2

Verificação da implicação 1: (x-y)\ge 0 \Rightarrow x\ge y.
Prova passo a passo:
  • Parte da hipótese (x-y)\ge 0.
  • Some y aos dois lados da desigualdade. A regra é: se A\ge B e c\in\mathbb{R}, então A+c\ge B+c — somar a mesma quantidade aos dois lados preserva a desigualdade (isso é uma propriedade básica das desigualdades reais).
  • Aplicando isso: (x-y)+y \ge 0 + y.
  • Simplificando o lado esquerdo: x \ge y.
Logo a implicação 1 é válida para todos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Verificação da implicação 2: x\ge y \Rightarrow (x-y)\ge 0.
Prova passo a passo:
  • Comece com a hipótese x\ge y.
  • Subtraia y dos dois lados. Subtrair a mesma quantidade de ambos os lados preserva a desigualdade (é equivalente a somar -y aos dois lados).
  • Fazendo: x - y \ge y - y.
  • Simplificando o lado direito: x - y \ge 0.
Portanto a implicação 2 também é válida para todos x,y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Ilustrações numéricas (para sentir na prática):
  • Se x=5 e y=3: (x-y)=2\ge0 e x\ge y (5≥3). Ambas as direções funcionam.
  • Se x=2 e y=2: (x-y)=0\ge0 e x\ge y (2≥2). Novamente OK.
  • Se x=1 e y=4: aqui (x-y)=-3\not\ge0 e x\not\ge y. Nada contraditório aparece.
Comentário didático rápido: cuidado com operações que não preservam desigualdade (por exemplo, multiplicar ambos os lados por um número negativo inverte o sinal). Aqui, entretanto, só somamos/subtraímos a mesma quantidade, operações que sempre preservam a desigualdade, por isso as duas implicações são seguras.

Passo 5

Conclusão lógica: como ambas as implicações que compõem a equivalência são verdadeiras para todos x,y\in\mathbb{R}, a equivalência inteira é verdadeira. Não existe implicação falsa nem contraexemplo que a invalide.

Resposta

Não há erro: a equivalência (x-y)\ge 0 \Longleftrightarrow x\ge y é verdadeira para todos x,y\in\mathbb{R}.

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