Jogo dos erros: encontre os erros nas “equivalências” abaixo. Em cada uma delas há uma implicação que não vale e você deve encontrá-la. Lembre-se de que, para invalidar a veracidade de uma sentença, basta encontrar um exemplo para o qual ela não seja válida. O exemplo deve ser explícito. No que segue,
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(h)
.
(h)
Passo 1
O enunciado nos dá a “equivalência”
com
. A tarefa é encontrar, entre as duas implicações que compõem essa equivalência, alguma que não seja válida; se alguma for inválida, dar um contraexemplo explícito. Listei as informações relevantes:
- Variáveis:
. - A equivalência se desmembra em duas implicações separadas:
-
. -
.
O próximo passo é verificar cada uma delas.
-
Passo 2
Verificação da implicação 1:
.
Prova passo a passo:
- Parte da hipótese
. - Some
aos dois lados da desigualdade. A regra é: se e , então — somar a mesma quantidade aos dois lados preserva a desigualdade (isso é uma propriedade básica das desigualdades reais). - Aplicando isso:
- Simplificando o lado esquerdo:
Logo a implicação 1 é válida para todos
.
Passo 3
Verificação da implicação 2:
.
Prova passo a passo:
- Comece com a hipótese
. - Subtraia
dos dois lados. Subtrair a mesma quantidade de ambos os lados preserva a desigualdade (é equivalente a somar aos dois lados). - Fazendo:
- Simplificando o lado direito:
Portanto a implicação 2 também é válida para todos
.
Passo 4
Ilustrações numéricas (para sentir na prática):
- Se
e : e (5≥3). Ambas as direções funcionam. - Se
e : e (2≥2). Novamente OK. - Se
e : aqui e . Nada contraditório aparece.
Comentário didático rápido: cuidado com operações que não preservam desigualdade (por exemplo, multiplicar ambos os lados por um número negativo inverte o sinal). Aqui, entretanto, só somamos/subtraímos a mesma quantidade, operações que sempre preservam a desigualdade, por isso as duas implicações são seguras.
Passo 5
Conclusão lógica: como ambas as implicações que compõem a equivalência são verdadeiras para todos
, a equivalência inteira é verdadeira. Não existe implicação falsa nem contraexemplo que a invalide.
Resposta
Não há erro: a equivalência
é verdadeira para todos
.