Em um jogo de moedas, cada vez que sai cara, o jogador ganha R$1,00; cada vez que sai coroa, o jogador ganha R$ 2,00. O jogo acaba quando o jogador ganha R$ 4,00 ou mais.
Assinale a alternativa CORRETA que representa a probabilidade de que o jogador ganhe exatamente R$ 4,00:
A) 1 .
B)
.
C)
.
D)
.
A) 1 .
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado descreve um jogo de moedas em que a cada lançamento:
– sai cara com probabilidade e o jogador ganha R$
;
– sai coroa com probabilidade e o jogador ganha R$
.
O jogo termina quando a soma acumulada atinge pelo menos R$ . Queremos a probabilidade de que o total final seja exatamente R$
.
– sai cara com probabilidade
– sai coroa com probabilidade
O jogo termina quando a soma acumulada atinge pelo menos R$
Passo 2
Definimos
como a probabilidade de, partindo de um ganho acumulado de
, terminar o jogo com exatamente R$
. Temos como caso base para
:
– se sair cara (probabilidade ), vai a
e acerta exatamente;
– se sair coroa (probabilidade ), vai a
e passa de
.
Portanto
– se sair cara (probabilidade
– se sair coroa (probabilidade
Portanto
Passo 3
Para
:
– com cara (probabilidade ) vai para
e então acerta com probabilidade
;
– com coroa (probabilidade ) vai direto a
e acerta com probabilidade
.
Logo,
– com cara (probabilidade
– com coroa (probabilidade
Logo,
Substituindo
dá
Passo 4
Para
:
– com cara (probabilidade ) vai a
e acerta com probabilidade
;
– com coroa (probabilidade ) vai a
e acerta com probabilidade
.
Assim,
– com cara (probabilidade
– com coroa (probabilidade
Assim,
Passo 5
Para
(início do jogo):
– com cara (probabilidade ) vai a
e acerta com probabilidade
;
– com coroa (probabilidade ) vai a
e acerta com probabilidade
.
Logo,
– com cara (probabilidade
– com coroa (probabilidade
Logo,
Resposta
A probabilidade de que o jogador ganhe exatamente R$
é
, ou seja, alternativa B.