Em um jogo de moedas, cada vez que sai cara, o jogador ganha R$1,00; cada vez que sai coroa, o jogador ganha R$ 2,00. O jogo acaba quando o jogador ganha R$ 4,00 ou mais.
Assinale a alternativa CORRETA que representa a probabilidade de que o jogador ganhe exatamente R$ 4,00:
A) 1 .
B) 11 / 16.
C) 1 / 2.
D) 15 / 16.

Passo 1

O enunciado descreve um jogo de moedas em que a cada lançamento:
– sai cara com probabilidade \tfrac{1}{2} e o jogador ganha R$ 1,00;
– sai coroa com probabilidade \tfrac{1}{2} e o jogador ganha R$ 2,00.
O jogo termina quando a soma acumulada atinge pelo menos R$ 4,00. Queremos a probabilidade de que o total final seja exatamente R$ 4,00.

Passo 2

Definimos a_s como a probabilidade de, partindo de um ganho acumulado de s<4, terminar o jogo com exatamente R$ 4,00. Temos como caso base para s=3:
– se sair cara (probabilidade \tfrac{1}{2}), vai a 4 e acerta exatamente;
– se sair coroa (probabilidade \tfrac{1}{2}), vai a 5 e passa de 4.
Portanto
a_3 = \tfrac{1}{2} \times 1 + \tfrac{1}{2} \times 0 = \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Para s=2:
– com cara (probabilidade \tfrac12) vai para s=3 e então acerta com probabilidade a_3;
– com coroa (probabilidade \tfrac12) vai direto a 4 e acerta com probabilidade 1.
Logo,
a_2 = \tfrac12\,a_3 + \tfrac12 \times 1.
Substituindo a_3=\tfrac12
a_2 = \tfrac12\cdot\tfrac12 + \tfrac12 = \tfrac14 + \tfrac12 = \tfrac34.

Passo 4

Para s=1:
– com cara (probabilidade \tfrac12) vai a 2 e acerta com probabilidade a_2;
– com coroa (probabilidade \tfrac12) vai a 3 e acerta com probabilidade a_3.
Assim,
a_1 = \tfrac12\,a_2 + \tfrac12\,a_3 = \tfrac12\cdot\tfrac34 + \tfrac12\cdot\tfrac12 = \tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{8}.

Passo 5

Para s=0 (início do jogo):
– com cara (probabilidade \tfrac12) vai a 1 e acerta com probabilidade a_1;
– com coroa (probabilidade \tfrac12) vai a 2 e acerta com probabilidade a_2.
Logo,
a_0 = \tfrac12\,a_1 + \tfrac12\,a_2 = \tfrac12\cdot\tfrac{5}{8} + \tfrac12\cdot\tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{16} + \tfrac{6}{16} = \tfrac{11}{16}.

Resposta

A probabilidade de que o jogador ganhe exatamente R$ 4,00 é \tfrac{11}{16}, ou seja, alternativa B.

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