No jogo de pôquer, com um baralho de 32 cartas, qual é a probabilidade de um jogador receber, “de mão”:
a) um par?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Num poker com um baralho de 32 cartas, qual é a probabilidade de um jogador receber, de mão (5 cartas), exatamente um par?”
Conteúdo: probabilidade e contagem usando combinatória.
O que vamos precisar:
  1. Número total de mãos possíveis de 5 cartas num baralho de 32.
  2. Número de mãos que formam exatamente um par (isto é, duas cartas do mesmo valor e as outras três de valores todos diferentes).
  3. Dividir o caso favorável pelo total para achar a probabilidade.

Passo 2

Primeiro, o total de mãos de 5 cartas num baralho de 32 é dado por
binom325
Isso porque estamos escolhendo 5 cartas dentre 32, sem ordem.
Calculemos:
binom325=32cdot31cdot30cdot29cdot285!=24,165,120120=201,376

Passo 3

Agora, vamos contar quantas mãos têm exatamente um par.
Para isso, fazemos passo a passo:
  1. Escolher o valor (a “rank”) que vai formar o par. Num baralho de 32 cartas há 8 valores (7,8,9,10,J,Q,K,A), então binom81=8
    2) Para esse valor escolhido, há 4 naipes; escolhemos 2 desses 4 para formar o par:
    binom42=6
  2. Agora precisamos das outras 3 cartas, todas de valores distintos entre si e diferentes do valor do par. Restam 7 valores, escolhemos 3 deles: binom73=35
    4) Cada um desses 3 valores escolhidos pode vir em qualquer um dos 4 naipes, então para cada um há 4 escolhas, totalizando
    4^3=64maneiras de escolher essas 3 cartas.
    Multiplicando tudo, o número de mãos com exatamente um par é
8;times;6;times;35;times;64 =107,520

Passo 4

A probabilidade de formar exatamente um par é, então,
$$P(par)=\frac{casos favoráveis}{total de casos}
=\frac{107,520}{201,376}\approx0{,}5340.$$

Resposta

A probabilidade de receber exatamente um par é
8;binom42;binom73;4^3binom325 ;approx;0,5340(ou 53,40%!)

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