No jogo da quina você pode marcar de 5 a 15 números entre 80 disponíveis. É premiado caso acerte de 2 a 5 números entre os 5 sorteados. Caso um apostador resolva jogar um jogo com 10 números, qual a probabilide dele ganhar algum prêmio?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: no jogo da Quina você escolhe 5 a 15 números de um universo de 80, e o sorteio também apresenta 5 números. Você ganha se acertar pelo menos 2 e no máximo 5 desses 5 sorteados. A gente vai jogar com 10 números marcados e quer saber a probabilidade de ganhar algum prêmio (ou seja, acertar 2, 3, 4 ou 5).
Conteúdo: é um problema de combinatória (distribuição hipergeométrica). Vamos usar combinações binomnk pra contar as maneiras de escolher certo e errado, e depois dividir pelo total de resultados possíveis.

Passo 2

Primeiro, qual o total de maneiras de sair 5 números dentre os 80?
Isso é
binom805
que vale
binom805=80cdot79cdot78cdot77cdot765!=24,040,016
Esse vai ser nosso denominador: todas as formas de sorteio.

Passo 3

Agora, pra ganhar, o jogador tem que acertar exatamente k números, com k=2,3,4,5.
Em cada caso:
  • escolho k dos meus 10 números certos: binom10k,
  • escolho os outros 5-k entre os 70 que não marquei: binom705-k.
    Então o número de resultados favoráveis para cada k é
binom10k;binom705-k

Passo 4

A probabilidade de acertar exatamente k é
P(X=k)=binom10k,binom705-kbinom805
Como queremos ganhar com 2,3,4 ou 5 acertos, somamos:
P(ganhar)=sumk=2^5 binom10k,binom705-kbinom805
Calculando cada termo:
  • k=2colon binom102binom703=45cdot54,740=2,463,300
  • k=3colon binom103binom702=120cdot2,415=289,800
  • k=4colon binom104binom701=210cdot70=14,700
  • k=5colon binom105binom700=252cdot1=252
    Somando dá 2,768,052 casos favoráveis. Dividindo por 24,040,016:

Resposta

P(ganhar) = 2,768,05224,040,016 approx 0,1152
ou seja, cerca de 11,52%.

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