Qual é a probabilidade de, ao jogar 3 dados ao mesmo tempo, obter a soma sendo menor ou igual ao número 6 ?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que pegamos do enunciado):
- Lançam-se simultaneamente três dados comuns, cada um com faces
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que a soma das três faces observadas seja menor ou igual a
? - Observação útil (só para referência): a soma mínima possível com três dados é
e a máxima é .
Passo 2
Definir o espaço amostral e por que todos os resultados são igualmente prováveis.
- Cada dado tem
resultados possíveis e os três lançamentos são independentes, portanto o número total de resultados ordenados possíveis é
- Como os dados são justos, cada uma dessas
tripletas com tem probabilidade igual de ocorrer. Assim vamos contar quantas dessas tripletas têm soma .
Passo 3
Observar quais somas são possíveis e escolher a estratégia de contagem.
- Como a soma mínima é
, “soma menor ou igual a ” significa somas . - Para contar quantas tripletas ordenadas
satisfazem com , podemos usar o método de composições (stars and bars). A fórmula para o número de soluções positivas ordenadas de
é
Explicação rápida do porquê: distribuir
unidades entre 3 caixas, cada caixa recebe pelo menos
. Isso é equivalente a colocar
separadores e escolher
posições de divisão; o resultado conta soluções ordenadas (cada permutação conta separadamente), que é exatamente o que precisamos porque
é diferente de
.
Passo 4
Aplicar a fórmula para cada soma
.
- Para
:
(Isto corresponde somente à tripleta
.)
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando os casos favoráveis:
Portanto há
resultados ordenados (de um total de
) cuja soma é
.
Passo 5
Calcular a probabilidade e simplificar a fração; interpretar numericamente.
- A probabilidade pedida é
- Simplificando dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum
,
- Em forma decimal aproximada,
Passo 6
Pequena verificação por enumeração das configurações para fixar a intuição (opcional, mas útil).
- Para
por exemplo, as composições ordenadas são: - tipo
: tem permutações; - tipo
: tem permutações; - tipo
: tem permutação.
Soma, que bate com . Isso confirma que a contagem está consistente.
- tipo