Qual é a probabilidade de, ao jogar 3 dados ao mesmo tempo, obter a soma sendo menor ou igual ao número 6 ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que pegamos do enunciado):
  • Lançam-se simultaneamente três dados comuns, cada um com faces 1,2,3,4,5,6.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que a soma das três faces observadas seja menor ou igual a 6?
  • Observação útil (só para referência): a soma mínima possível com três dados é 3 e a máxima é 18.

Passo 2

Definir o espaço amostral e por que todos os resultados são igualmente prováveis.
  • Cada dado tem 6 resultados possíveis e os três lançamentos são independentes, portanto o número total de resultados ordenados possíveis é
6^3 = 216.
  • Como os dados são justos, cada uma dessas 216 tripletas (x_1,x_2,x_3) com x_i\in\{1,\dots,6\} tem probabilidade igual de ocorrer. Assim vamos contar quantas dessas tripletas têm soma \le 6.

Passo 3

Observar quais somas são possíveis e escolher a estratégia de contagem.
  • Como a soma mínima é 3, “soma menor ou igual a 6” significa somas 3,4,5,6.
  • Para contar quantas tripletas ordenadas (x_1,x_2,x_3) satisfazem x_1+x_2+x_3=s com x_i\ge1, podemos usar o método de composições (stars and bars). A fórmula para o número de soluções positivas ordenadas de
x_1+x_2+x_3=s
é
\binom{s-1}{3-1}=\binom{s-1}{2}.
Explicação rápida do porquê: distribuir s unidades entre 3 caixas, cada caixa recebe pelo menos 1. Isso é equivalente a colocar s-1 separadores e escolher 2 posições de divisão; o resultado conta soluções ordenadas (cada permutação conta separadamente), que é exatamente o que precisamos porque (1,2,3) é diferente de (3,2,1).

Passo 4

Aplicar a fórmula para cada soma s=3,4,5,6.
  • Para s=3:
\binom{3-1}{2}=\binom{2}{2}=1.
(Isto corresponde somente à tripleta (1,1,1).)
  • Para s=4:
\binom{4-1}{2}=\binom{3}{2}=3.
  • Para s=5:
\binom{5-1}{2}=\binom{4}{2}=6.
  • Para s=6:
\binom{6-1}{2}=\binom{5}{2}=10.
Somando os casos favoráveis:
1+3+6+10 = 20.
Portanto há 20 resultados ordenados (de um total de 216) cuja soma é \le 6.

Passo 5

Calcular a probabilidade e simplificar a fração; interpretar numericamente.
  • A probabilidade pedida é
\frac{20}{216}.
  • Simplificando dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum 4,
\frac{20}{216}=\frac{5}{54}.
  • Em forma decimal aproximada,
\frac{5}{54}\approx 0,09259.

Passo 6

Pequena verificação por enumeração das configurações para fixar a intuição (opcional, mas útil).
  • Para s=6 por exemplo, as composições ordenadas são:
    • tipo (4,1,1): tem 3 permutações;
    • tipo (3,2,1): tem 6 permutações;
    • tipo (2,2,2): tem 1 permutação.
      Soma 3+6+1=10, que bate com \binom{5}{2}=10. Isso confirma que a contagem está consistente.

Resposta

\dfrac{5}{54}\approx 0,09259

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