Em um jogo de vôlei, é realizado um saque de tal modo que a bola sobe a uma altura máxima de 24,67 m a partir do chão e desce no campo adversário a uma distancia de 23,98 do sacador. Seja
theta
o ângulo que a bola faz com a horizontal ao ser lançada. Quanto vale tan theta?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de vôlei juntos. A gente tem que descobrir o valor de tan theta, onde theta é o ângulo que a bola faz com a horizontal quando é sacada. Para isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, que é uma parte da física que estuda como objetos se movem no ar. Vamos precisar das fórmulas que relacionam a altura máxima e a distância que a bola percorre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Altura máxima ( H): 24,67 metros. É a altura que a bola atinge no ponto mais alto da trajetória.
  • Distância percorrida ( R): 23,98 metros. É a distância horizontal que a bola percorre desde o sacador até o adversário.

Passo 3

No movimento de projéteis, a altura máxima é dada pela fórmula:
H = v0^2 sin^2 theta2g
E a distância percorrida (alcance) é:
R = v0^2 sin 2thetag
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial da bola.
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s^2).

Passo 4

Nos dois passos anteriores, temos duas equações com a mesma velocidade inicial v0. Vamos dividir a equação da altura máxima pela da distância percorrida para eliminar v0:
HR = v0^2 sin^2 theta2gv0^2 sin 2thetag = sin^2 theta2 sin 2theta

Passo 5

Sabemos que sin 2theta = 2 sin theta cos theta. Substituindo isso na equação:
HR = sin^2 theta2 times 2 sin theta cos theta = sin theta4 cos theta = 14 tan theta
Aqui, usamos a definição de tan theta = sin thetacos theta.

Passo 6

Agora, rearranjando a equação para encontrar tan theta:
tan theta = 4 times HR
Substituindo os valores:
tan theta = 4 times 24,6723,98

Passo 7

Vamos calcular:
24,6723,98 approx 1,028
Então:
tan theta = 4 times 1,028 approx 4,11

Resposta

tan theta approx 4,11

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