Uma partícula se move no plano XY sob a ação exclusiva de uma força constante F=5 i N+2,6 j N. Observa-se que suas funções horárias de movimento são dadas por x(t)=(30,6+1,6 t+2,3 t^2) e y(t)=(1,3+3,9 t+ay t^2 / 2), nas quais x e y estão em metros e t em segundos. Determine ay em m / s^2.
a. 2,39
b. 0,72
c. 1,44
d. 3,11
e. 4,07
f. 4,78
g. Falta informação no enunciado.
h. Nenhuma das demais afirmativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula se movendo no plano XY sob a ação de uma força constante F = 5 i , N + 2,6 j , N. As funções que descrevem a posição da partícula em função do tempo são:
x(t) = 30,6 + 1,6 t + 2,3 t^2
y(t) = 1,3 + 3,9 t + ay2 t^2
Queremos descobrir o valor de ay em m/s^2. Para isso, vamos usar conceitos de Cinemática e a Segunda Lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que as funções x(t) e y(t) representam a posição da partícula ao longo dos eixos X e Y, respectivamente, em função do tempo t. A gente pode obter a velocidade e a aceleração derivando essas funções.
A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a segunda derivada.
Vamos calcular a aceleração nas duas direções.

Passo 3

Calculando a aceleração na direção X:
x(t) = 30,6 + 1,6 t + 2,3 t^2
Primeira derivada (velocidade):
vx(t) = dxdt = 1,6 + 4,6 t
Segunda derivada (aceleração):
ax = d^2xdt^2 = 4,6 , m/s^2

Passo 4

Agora, calculando a aceleração na direção Y:
y(t) = 1,3 + 3,9 t + ay2 t^2
Primeira derivada (velocidade):
vy(t) = dydt = 3,9 + ay t
Segunda derivada (aceleração):
ay = d^2ydt^2 = ay , m/s^2

Passo 5

Agora, vamos usar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( F = m a).
Para a direção X:
Fx = m ax Rightarrow 5 = m times 4,6 Rightarrow m = 54,6 approx 1,0869 , kg

Passo 6

Usando a massa encontrada para determinar ay:
Fy = m ay Rightarrow 2,6 = 1,0869 times ay Rightarrow ay = 2,61,0869 approx 2,391 , m/s^2

Resposta

O valor de ay é aproximadamente 2,39 m/s², que corresponde à letra a.

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