Um anel de raio R=0,6 m e massa M=6,1 kg está em repouso, quando um torque constante T=6,6 N cdot m na mesma direção do eixo perpendicular ao plano do anel eque passa pelo seu centro de massa atua durante um tempo de 3,9 s. Qual o valor da energia cinética do anel em I depois deste tempo? Considere a massa do anel uniformemente distribuida.
a. 151
b. 51
c 65
d. 118
e. 235
f. 262
g. 347
h. Nenhuma das outras alternativas está correta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um anel com raio $ R = 0,6 $ metros e massa $ M = 6,1 $ kg que está parado. A gente aplica um torque constante $ T = 6,6 , N \cdot m $ por um tempo de $ t = 3,9 $ segundos. Queremos descobrir qual é a energia cinética do anel após esse tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de torque, momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o momento de inércia $ I $ do anel. O momento de inércia depende da distribuição da massa em relação ao eixo de rotação. Como a massa está distribuída uniformemente em um anel, a fórmula do momento de inércia é:
I
Substituindo os valores:
I = M cdot R^2

Passo 3

Agora, vamos usar o torque para encontrar a aceleração angular $ \alpha $. A relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular é dada por:
alpha
Despejando para $ \alpha $:
T = I cdot alpha

Passo 4

Com a aceleração angular, podemos encontrar a velocidade angular final $ \omega $ após o tempo $ t $. A relação entre aceleração angular, tempo e velocidade angular é:
omega
Substituindo os valores:
t

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a energia cinética rotacional $ E_k $ do anel usando a fórmula:
Ek
Substituindo os valores que já encontramos:
Ek = 12 I omega^2
Primeiro, calculamos $ \omega^2 $:
Ek = 12 times 2,196 , kg cdot m^2 times (11,7 , rad/s)^2
Então:
omega^2

Resposta

A energia cinética do anel após os 3,9 segundos é aproximadamente 151 J.

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