Dois projéteis são lançados ao mesmo tempo do solo. O primeiro com velocidade inicial de módulo
e inclinação
com relação à horizontal e o segundo com velocidade inicial de módulo
e inclinação
com relação à horizontal. Despreze a resistência do ar. Se
e
qual das afirmativas abaixo é verdadeira? Considere
e
os tempos que os projéteis levam para retornar ao solo.
Escolha uma opção:
Nenhuma das outras alternativas é correta.
O alcance dos dois projéteis é o mesmo e
.
alcance dos dois projéteis é o mesmo e
.
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e
.
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e
.
alcance do projétil 1 é maior que o do projétil 2 e
.
Não há dados suficientes para responder à pergunta.
O alcance do projétil 1 é maior que o do projétil 2 e
.
Escolha uma opção:
Nenhuma das outras alternativas é correta.
O alcance dos dois projéteis é o mesmo e
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e
Não há dados suficientes para responder à pergunta.
O alcance do projétil 1 é maior que o do projétil 2 e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois projéteis lançados do chão ao mesmo tempo. O primeiro tem velocidade inicial $ v_1 $ e é lançado com um ângulo de $ \theta_1 = 30^\circ $ em relação à horizontal. O segundo projétil tem velocidade inicial $ v_2 $ e é lançado com um ângulo de $ \theta_2 = 45^\circ $. A condição dada é que as componentes horizontais das velocidades iniciais são iguais, ou seja, $ v_{1x} = v_{2x} $. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis para descobrir qual das afirmações é verdadeira em relação ao alcance e ao tempo de voo dos projéteis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter as componentes horizontais iguais. A componente horizontal da velocidade é dada por $ v_x = v \cos(\theta) $. Então, temos:
Como $ v_{1x} = v_{2x} $, podemos igualar as duas expressões:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Podemos simplificar os $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
Isolando $ v_1 $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o alcance de cada projétil. A fórmula do alcance $ R $ de um projétil lançado com velocidade inicial $ v $ e ângulo $ \theta $ é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $). Vamos aplicar essa fórmula para os dois projéteis.
Para o projétil 1:
E para o projétil 2:
Sabemos que $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(90^\circ) = 1 $. Substituindo:
Passo 5
Vamos substituir $ v_1 $ em termos de $ v_2 $ na expressão de $ R_1 $:
Enquanto:
Comparando $ R_1 $ e $ R_2 $:
Portanto, $ R_1 < R_2 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular o tempo de voo de cada projétil. A fórmula do tempo total de voo $ t_A $ é:
Para o projétil 1:
E para o projétil 2:
Sabemos que $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Substituindo:
Passo 7
Substituindo $ v_1 = v_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $ em $ t_{A1} $:
Enquanto:
Comparando $ t_{A1} $ e $ t_{A2} $:
Portanto, $ t_{A1} < t_{A2} $.
Resposta
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e $ t_{A1} < t_{A2} $.