Dois projéteis são lançados ao mesmo tempo do solo. O primeiro com velocidade inicial de módulo v1 e inclinação theta1 com relação à horizontal e o segundo com velocidade inicial de módulo v2 e inclinação theta2 com relação à horizontal. Despreze a resistência do ar. Se theta1=30^circ, theta2=45^circ e v1 x=v2 x qual das afirmativas abaixo é verdadeira? Considere tA 1 e tA 2 os tempos que os projéteis levam para retornar ao solo.
Escolha uma opção:
Nenhuma das outras alternativas é correta.
O alcance dos dois projéteis é o mesmo e tA 1=tA 2.
O alcance dos dois projéteis é o mesmo e tA 1 neq tA 2.
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e tA 1.
O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e tA 1=tA 2.
O alcance do projétil 1 é maior que o do projétil 2 e tA 1>tA 2.
Não há dados suficientes para responder à pergunta.
O alcance do projétil 1 é maior que o do projétil 2 e tA 1=tA 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois projéteis lançados do chão ao mesmo tempo. O primeiro tem velocidade inicial $ v_1 $ e é lançado com um ângulo de $ \theta_1 = 30^\circ $ em relação à horizontal. O segundo projétil tem velocidade inicial $ v_2 $ e é lançado com um ângulo de $ \theta_2 = 45^\circ $. A condição dada é que as componentes horizontais das velocidades iniciais são iguais, ou seja, $ v_{1x} = v_{2x} $. Vamos usar conceitos de movimento de projéteis para descobrir qual das afirmações é verdadeira em relação ao alcance e ao tempo de voo dos projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as componentes horizontais iguais. A componente horizontal da velocidade é dada por $ v_x = v \cos(\theta) $. Então, temos:
vx = v cos(theta)
Como $ v_{1x} = v_{2x} $, podemos igualar as duas expressões:
v1x = v1 cos(30^circ) e v2x = v2 cos(45^circ)

Passo 3

Vamos resolver essa equação para relacionar $ v_1 $ e $ v_2 $. Sabemos que:
v1
Substituindo na equação:
v2
Podemos simplificar os $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
cos(30^circ) = raiz32 e cos(45^circ) = raiz22
Isolando $ v_1 $:
v1 cdot raiz32 = v2 cdot raiz22

Passo 4

Agora, vamos calcular o alcance de cada projétil. A fórmula do alcance $ R $ de um projétil lançado com velocidade inicial $ v $ e ângulo $ \theta $ é:
R
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $). Vamos aplicar essa fórmula para os dois projéteis.
Para o projétil 1:
v
E para o projétil 2:
theta
Sabemos que $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(90^\circ) = 1 $. Substituindo:
R = v^2 sin(2theta)g

Passo 5

Vamos substituir $ v_1 $ em termos de $ v_2 $ na expressão de $ R_1 $:
v1
Enquanto:
v2
Comparando $ R_1 $ e $ R_2 $:
R1
Portanto, $ R_1 < R_2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo de voo de cada projétil. A fórmula do tempo total de voo $ t_A $ é:
tA
Para o projétil 1:
tA = 2 v sin(theta)g
E para o projétil 2:
tA1 = 2 v1 sin(30^circ)g
Sabemos que $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Substituindo:
tA2 = 2 v2 sin(45^circ)g
sin(30^circ) = 12

Passo 7

Substituindo $ v_1 = v_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $ em $ t_{A1} $:
v1 = v2 cdot raiz2raiz3
Enquanto:
tA1
Comparando $ t_{A1} $ e $ t_{A2} $:
tA1 = v2 cdot raiz2raiz3g = v2 raiz2g raiz3
Portanto, $ t_{A1} < t_{A2} $.

Resposta

O alcance do projétil 1 é menor que o do projétil 2 e $ t_{A1} < t_{A2} $.

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