No experimento de Davisson-Germer, um feixe de elétrons com energia de 54 eV foi direcionado perpendicularmente a um cristal de Níquel. Uma detecção proeminente de elétrons espalhados foi observada em um ângulo
em relação ao feixe incidente.
a) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para os elétrons incidentes.
b) Considerando que o espalhamento observado corresponde a uma difração de primeira ordem
pelos planos cristalinos do Níquel, e sabendo que a separação interplanar para o Níquel é
, utilize a lei de Bragg (
) para determinar o comprimento de onda associado ao padrão de difração.
Quando tratamos da lei de Bragg o nosso
é medido em relação ao plano cristalino, e não ao feixe incidente. Para o arranjo experimental de Davisson-Germer, a relação entre os ângulos é
.
c) Compare os comprimentos de onda obtidos nos itens a) e b). O que essa comparação nos diz sobre a natureza ondulatória do elétron?
d) Para observarmos o efeito do item a) utilizando um próton, qual deveria ser sua velocidade?
a) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para os elétrons incidentes.
b) Considerando que o espalhamento observado corresponde a uma difração de primeira ordem
c) Compare os comprimentos de onda obtidos nos itens a) e b). O que essa comparação nos diz sobre a natureza ondulatória do elétron?
d) Para observarmos o efeito do item a) utilizando um próton, qual deveria ser sua velocidade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
-
Dados fornecidos:
- Energia cinética dos elétrons incidentes:
. - Ângulo de detecção (em relação ao feixe incidente):
. - Separação interplanar do cristal de Níquel:
. - Ordem da difração considerada:
. - Relação entre os ângulos do experimento de Davisson–Germer:
, onde é o ângulo na lei de Bragg.
- Energia cinética dos elétrons incidentes:
-
O enunciado pede:
a) Calcular o comprimento de onda de De Broglie dos elétrons incidentes.
b) Usar a lei de Bragg(com obtido pela relação com ) para determinar o comprimento de onda associado ao padrão de difração.
c) Comparar os comprimentos de onda dos itens (a) e (b) e interpretar o que isso diz sobre a natureza ondulatória do elétron.
d) Determinar a velocidade que um próton deveria ter para apresentar o mesmo comprimento de onda do item (a).
Passo 2
a) Cálculo do comprimento de onda de De Broglie dos elétrons incidentes.
- Conceito/fórmula principal: o comprimento de onda de De Broglie de uma partícula é dado por
onde
é a constante de Planck (
) e
é o momento linear da partícula.
- Como só foi dada a energia cinética
, e os elétrons são não-relativísticos a (pois da massa de repouso), usamos a relação clássica entre momento e energia cinética:
onde
é a massa do elétron (
) e
deve estar em joules. Primeiro convertemos a energia:
- Agora o momento:
Fazendo essa conta obtém-se
- Finalmente o comprimento de onda:
- Observação prática (atalho usado às vezes em problemas): para elétrons não-relativísticos há uma fórmula aproximada útil
que dá aqui
, igual ao valor obtido acima.
Passo 3
b) Cálculo do comprimento de onda a partir da lei de Bragg.
- Relembrando a lei de Bragg: para reflexão/difração por planos cristalinos vale
onde
é a ordem de difração,
o comprimento de onda da onda que sofre difração,
a distância entre planos e
o ângulo entre o feixe refletido e o plano cristalino (medido a partir do plano).
- Relação dos ângulos no experimento: é dada
. Então
- Substituindo
, e na lei de Bragg:
- Calculando
, obtemos
Passo 4
c) Comparação entre os comprimentos de onda e interpretação física.
-
Valores encontrados:
- De Broglie (item a):
- Bragg (item b):
- De Broglie (item a):
-
Diferença relativa:
- Interpretação didática e física: os dois comprimentos de onda coincidem muito bem (diferença ≈
), considerando incertezas experimentais e aproximações (ex.: suposição não-relativística, precisão de , etc.). Essa concordância é o que Davisson e Germer usaram para concluir que elétrons exibem comportamento ondulatório — o comprimento de onda calculado pela ideia de De Broglie (partícula com momento) coincide com o comprimento de onda necessário para produzir a difração observada pelos planos cristalinos (lei de Bragg). Ou seja: elétrons se comportam como ondas ao espalharem por um cristal.
Passo 5
d) Velocidade que um próton deveria ter para apresentar o mesmo comprimento de onda do item (a).
- Ideia: para qualquer partícula não-relativística,
e . Aqui queremos que o próton tenha . Então:
(esse é exatamente o momento do elétron que produz esse
).
-
Massa do próton:
. -
Velocidade necessária:
- Verificação de consistência (não-relativística): a energia cinética correspondente para o próton é muito pequena:
ou seja, o próton estaria numa faixa de energia muito baixa, bem dentro do regime não-relativístico; portanto o cálculo é consistente.
Resposta
a)
b)
c) Os comprimentos de onda concordam muito bem (diferença relativa ≈
); isso confirma a natureza ondulatória dos elétrons, pois o
de De Broglie explica a difração observada pelo cristal.
d)