No experimento de Davisson-Germer, um feixe de elétrons com energia de 54 eV foi direcionado perpendicularmente a um cristal de Níquel. Uma detecção proeminente de elétrons espalhados foi observada em um ângulo \varphi=50^{\circ} em relação ao feixe incidente.
a) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para os elétrons incidentes.
b) Considerando que o espalhamento observado corresponde a uma difração de primeira ordem (\mathrm{n}=1) pelos planos cristalinos do Níquel, e sabendo que a separação interplanar para o Níquel é d=0,091 \mathrm{~nm}, utilize a lei de Bragg ( n \lambda=2 d \sin \theta ) para determinar o comprimento de onda associado ao padrão de difração.
Quando tratamos da lei de Bragg o nosso \theta é medido em relação ao plano cristalino, e não ao feixe incidente. Para o arranjo experimental de Davisson-Germer, a relação entre os ângulos é \varphi+2 \theta=180^{\circ}.
c) Compare os comprimentos de onda obtidos nos itens a) e b). O que essa comparação nos diz sobre a natureza ondulatória do elétron?
d) Para observarmos o efeito do item a) utilizando um próton, qual deveria ser sua velocidade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • Dados fornecidos:
    • Energia cinética dos elétrons incidentes: \,E=54\\ \mathrm{eV}.
    • Ângulo de detecção (em relação ao feixe incidente): \,\varphi=50^{\circ}.
    • Separação interplanar do cristal de Níquel: \,d=0,091\\ \mathrm{nm}.
    • Ordem da difração considerada: \,n=1.
    • Relação entre os ângulos do experimento de Davisson–Germer: \,\varphi+2\theta=180^{\circ}, onde \theta é o ângulo na lei de Bragg.
  • O enunciado pede:
    a) Calcular o comprimento de onda de De Broglie dos elétrons incidentes.
    b) Usar a lei de Bragg \,n\lambda=2d\sin\theta (com \theta obtido pela relação com \varphi) para determinar o comprimento de onda associado ao padrão de difração.
    c) Comparar os comprimentos de onda dos itens (a) e (b) e interpretar o que isso diz sobre a natureza ondulatória do elétron.
    d) Determinar a velocidade que um próton deveria ter para apresentar o mesmo comprimento de onda do item (a).

Passo 2

a) Cálculo do comprimento de onda de De Broglie dos elétrons incidentes.
  • Conceito/fórmula principal: o comprimento de onda de De Broglie de uma partícula é dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde \,h é a constante de Planck ( h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}) e \,p é o momento linear da partícula.
  • Como só foi dada a energia cinética E, e os elétrons são não-relativísticos a 54\\ \mathrm{eV} (pois 54\\ \mathrm{eV}\ll 511\\ \mathrm{keV} da massa de repouso), usamos a relação clássica entre momento e energia cinética:
p=\sqrt{2mE},
onde m é a massa do elétron ( m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}) e E deve estar em joules. Primeiro convertemos a energia:
E = 54\\ \mathrm{eV} = 54\times(1{,}602176634\times10^{-19})\\ \mathrm{J} = 8{,}65175382\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
  • Agora o momento:
p=\sqrt{2m_e E}=\sqrt{2\times9{,}10938356\times10^{-31}\times8{,}65175382\times10^{-18}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Fazendo essa conta obtém-se
p \approx 3{,}97305\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Finalmente o comprimento de onda:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{3{,}97305\times10^{-24}}\\ \mathrm{m} \approx 1{,}66802\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}166802\\ \mathrm{nm}.
  • Observação prática (atalho usado às vezes em problemas): para elétrons não-relativísticos há uma fórmula aproximada útil
\lambda(\text{nm})\approx\frac{1{,}226}{\sqrt{E(\text{eV})}},
que dá aqui \lambda\approx 1{,}226/\sqrt{54}\approx0{,}1668\\ \mathrm{nm}, igual ao valor obtido acima.

Passo 3

b) Cálculo do comprimento de onda a partir da lei de Bragg.
  • Relembrando a lei de Bragg: para reflexão/difração por planos cristalinos vale
n\lambda=2d\sin\theta,
onde \,n é a ordem de difração, \lambda o comprimento de onda da onda que sofre difração, d a distância entre planos e \theta o ângulo entre o feixe refletido e o plano cristalino (medido a partir do plano).
  • Relação dos ângulos no experimento: é dada \varphi+2\theta=180^{\circ}. Então
\theta=\frac{180^{\circ}-\varphi}{2}=\frac{180^{\circ}-50^{\circ}}{2}=65^{\circ}.
  • Substituindo n=1, d=0{,}091\\ \mathrm{nm} e \theta=65^{\circ} na lei de Bragg:
\lambda = \frac{2d\sin\theta}{n}=2\times0{,}091\\ \mathrm{nm}\times\sin(65^{\circ}).
  • Calculando \sin(65^{\circ})\approx 0{,}90630779, obtemos
\lambda \approx 0{,}182\\ \mathrm{nm}\times0{,}90630779 \approx 0{,}164948\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

c) Comparação entre os comprimentos de onda e interpretação física.
  • Valores encontrados:
    • De Broglie (item a): \lambda_{\text{DB}}\approx 0{,}166802\\ \mathrm{nm}.
    • Bragg (item b): \lambda_{\text{Bragg}}\approx 0{,}164948\\ \mathrm{nm}.
  • Diferença relativa:
\frac{\lambda_{\text{DB}}-\lambda_{\text{Bragg}}}{\lambda_{\text{DB}}} =\frac{0{,}166802-0{,}164948}{0{,}166802}\approx 0{,}0111 \approx 1{,}11\%.
  • Interpretação didática e física: os dois comprimentos de onda coincidem muito bem (diferença ≈ 1{,}1\%), considerando incertezas experimentais e aproximações (ex.: suposição não-relativística, precisão de d, etc.). Essa concordância é o que Davisson e Germer usaram para concluir que elétrons exibem comportamento ondulatório — o comprimento de onda calculado pela ideia de De Broglie (partícula com momento) coincide com o comprimento de onda necessário para produzir a difração observada pelos planos cristalinos (lei de Bragg). Ou seja: elétrons se comportam como ondas ao espalharem por um cristal.

Passo 5

d) Velocidade que um próton deveria ter para apresentar o mesmo comprimento de onda do item (a).
  • Ideia: para qualquer partícula não-relativística, p=h/\lambda e v=p/m. Aqui queremos que o próton tenha \lambda=\lambda_{\text{DB}}. Então:
p=\frac{h}{\lambda_{\text{DB}}}\approx 3{,}97305\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
(esse é exatamente o momento do elétron que produz esse \lambda).
  • Massa do próton: m_p=1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade necessária:
v=\frac{p}{m_p}=\frac{3{,}97305\times10^{-24}}{1{,}67262192369\times10^{-27}}\\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}37595\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}38\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação de consistência (não-relativística): a energia cinética correspondente para o próton é muito pequena:
K=\frac{p^{2}}{2m_p}\approx 4{,}72\times10^{-21}\\ \mathrm{J}\approx 0{,}0295\\ \mathrm{eV},
ou seja, o próton estaria numa faixa de energia muito baixa, bem dentro do regime não-relativístico; portanto o cálculo é consistente.

Resposta

a) \lambda_{\text{DB}}\approx 0{,}166802\\ \mathrm{nm}.
b) \lambda_{\text{Bragg}}\approx 0{,}164948\\ \mathrm{nm}.
c) Os comprimentos de onda concordam muito bem (diferença relativa ≈ 1{,}11\%); isso confirma a natureza ondulatória dos elétrons, pois o \lambda de De Broglie explica a difração observada pelo cristal.
d) v_{\text{próton}}\approx 2{,}38\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.ó

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