Jogue um dado duas vezes.
Considere os eventos:
A = resultado do primeiro lançamento é par
B= resultado do segundo lançamento é par
C = soma dos resultados é par
A e B são independentes? E B e C?

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é: a gente joga um dado duas vezes e define três eventos:
  • A: “o primeiro lançamento deu um número par”
  • B: “o segundo lançamento deu um número par”
  • C: “a soma dos dois resultados é par”
O conteúdo aqui é probabilidade básica e independência de eventos. Para resolver, a gente vai usar:
  1. Como calcular a probabilidade de um evento simples no lançamento de um dado justo.
  2. Definição de independência: dois eventos P(Xcap Y) ;=; P(X)times P(Y) e são independentes se

Passo 2

Vamos ver A e B. Primeiro, as probabilidades separadas:
  • P(A): Probabilidade do primeiro lançamento ser par. Em um dado, os pares são {2,4,6}, ou seja, 3 casos em 6 possíveis. P(A) ;=; 36 ;=; 12
  • P(B): mesmo raciocínio no segundo lançamento, também P(Acap B) = P(A)times P(B) = 12times12 = 14 .
Agora, é “primeiro par e segundo par”, ou seja, os dois lançamentos são pares. Como os lançamentos são independentes (um não afeta o outro),
E, olha, isso bate com o cálculo direto: existem 36 pares ordenados possíveis, e em 9 deles ambos são pares, logo .
Como , concluímos que A e B são independentes.

Passo 3

Agora B e C. Primeiro, vamos achar P©, a probabilidade da soma ser par. Para dois lançamentos:
  • soma par acontece se os dois resultados forem pares OU se os dois forem ímpares.
  • P(dois pares) = P(C) = tfrac14 + tfrac14 = tfrac12 .
  • P(dois ímpares) = P(Bcap C) = 14 .
    Logo
P(B),P(C) ;=; 12 times 12 ;=; 14
é “segundo par e soma par”. Se o segundo é par, para a soma ser par o primeiro também tem que ser par (pois par+par=par). Então é exatamente “ambos pares” de novo, cujo valor é
Por outro lado
Como deu igual, temos . Ou seja, B e C também são independentes.

Resposta

A e B são independentes? Sim.
B e C são independentes? Sim.

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