Jogue um dado duas vezes.
Considere os eventos:
A = resultado do primeiro lançamento é par
resultado do segundo lançamento é par
= soma dos resultados é par
A e B são independentes? E B e C?
Considere os eventos:
A = resultado do primeiro lançamento é par
A e B são independentes? E B e C?
Passo 1
Beleza, então o que o exercício pede é: a gente joga um dado duas vezes e define três eventos:
- A: “o primeiro lançamento deu um número par”
- B: “o segundo lançamento deu um número par”
- C: “a soma dos dois resultados é par”
O conteúdo aqui é probabilidade básica e independência de eventos. Para resolver, a gente vai usar:
- Como calcular a probabilidade de um evento simples no lançamento de um dado justo.
- Definição de independência: dois eventos
e são independentes se
Passo 2
Vamos ver A e B. Primeiro, as probabilidades separadas:
- P(A): Probabilidade do primeiro lançamento ser par. Em um dado, os pares são {2,4,6}, ou seja, 3 casos em 6 possíveis.
- P(B): mesmo raciocínio no segundo lançamento, também
.
Agora,
é “primeiro par e segundo par”, ou seja, os dois lançamentos são pares. Como os lançamentos são independentes (um não afeta o outro),
E, olha, isso bate com o cálculo direto: existem 36 pares ordenados possíveis, e em 9 deles ambos são pares, logo
.
Como
, concluímos que A e B são independentes.
Passo 3
Agora B e C. Primeiro, vamos achar P©, a probabilidade da soma ser par. Para dois lançamentos:
- soma par acontece se os dois resultados forem pares OU se os dois forem ímpares.
- P(dois pares) =
. - P(dois ímpares) =
.
Logo
Já
é “segundo par e soma par”. Se o segundo é par, para a soma ser par o primeiro também tem que ser par (pois par+par=par). Então
é exatamente “ambos pares” de novo, cujo valor é
Por outro lado
Como deu igual, temos
. Ou seja, B e C também são independentes.
Resposta
A e B são independentes? Sim.
B e C são independentes? Sim.
B e C são independentes? Sim.