Suponha que
e
são v.a.s independentes, cujas f.g.m.s são
.
Encontre a f.g.m. de
Encontre a f.g.m. de
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: temos duas variáveis aleatórias independentes X e Y, cada uma com função geradora de momentos (f.g.m.)
\phi_X(t)=\phi_Y(t)=\exp\bigl(t^2+3t\bigr).
Queremos achar a f.g.m. de Z = 2X – 3Y + 4.
Conteúdo: função geradora de momentos e transformação linear de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos usar duas propriedades básicas:
\phi_X(t)=\phi_Y(t)=\exp\bigl(t^2+3t\bigr).
Queremos achar a f.g.m. de Z = 2X – 3Y + 4.
Conteúdo: função geradora de momentos e transformação linear de variáveis aleatórias. Para resolver, vamos usar duas propriedades básicas:
- MGF de soma de variáveis independentes = produto das MGFs;
- MGF de variável transformada aX + b é M_{aX+b}(t) = e^{b,t},M_X(a,t).
Passo 2
Primeiro, revisando a definição e propriedades:
- A f.g.m. de uma v.a. U é \displaystyle M_U(t)=E[e^{tU}].
- Se U e V são independentes, M_{U+V}(t)=M_U(t),M_V(t).
- Para uma constante a e b, M_{aX+b}(t)=E[e{t(aX+b)}]=e{b,t},E[e{(a,t)X}]=e{b,t},M_X(a,t).
Passo 3
Agora vamos aplicar direto em Z=2X–3Y+4:
M_Z(t)=E\bigl[e^{t(2X -3Y +4)}\bigr]
=e{4t},E\bigl[e{2tX}\bigr],E\bigl[e^{-3tY}\bigr]
=e^{4t},\phi_X(2t),\phi_Y(-3t),
onde usamos independência para separar a esperança.
M_Z(t)=E\bigl[e^{t(2X -3Y +4)}\bigr]
=e{4t},E\bigl[e{2tX}\bigr],E\bigl[e^{-3tY}\bigr]
=e^{4t},\phi_X(2t),\phi_Y(-3t),
onde usamos independência para separar a esperança.
Passo 4
Basta substituir \phi_X e \phi_Y:
\phi_X(2t)=\exp\bigl((2t)2+3(2t)\bigr)=\exp\bigl(4t2+6t\bigr),
\phi_Y(-3t)=\exp\bigl((-3t)2+3(-3t)\bigr)=\exp\bigl(9t2-9t\bigr).
Logo
M_Z(t)=e{4t},\exp(4t2+6t),\exp(9t^2-9t).
\phi_X(2t)=\exp\bigl((2t)2+3(2t)\bigr)=\exp\bigl(4t2+6t\bigr),
\phi_Y(-3t)=\exp\bigl((-3t)2+3(-3t)\bigr)=\exp\bigl(9t2-9t\bigr).
Logo
M_Z(t)=e{4t},\exp(4t2+6t),\exp(9t^2-9t).
Resposta
Agrupando tudo dentro de um único exponencial, temos
\displaystyle \boxed{M_Z(t)=\exp\bigl(13t^2 + t\bigr).}
\displaystyle \boxed{M_Z(t)=\exp\bigl(13t^2 + t\bigr).}