John Quincy Adams (4 pontos) Dados: \alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=-t \\\ z=1-t+h\end{array} \quad t, h \in \Re\right. r: X=(1,2,1)+\lambda(2,2,3), \quad \lambda \in \Re, \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=5 z \\\ y-2 z=2\end{array} \quad\right. e A(0,1,6) Determine:
A distância entre R(1,2,1) e s

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto R=(1,2,1)\) e a reta \(s\) dada pelo sistema \[\begin{cases} x=5z,\\\ y-2z=2. \end{cases}
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: distância de um ponto a uma reta, que se calcula por
d=\frac{\big\|\,(R-P_0)\times \mathbf{v}\,\big\|}{\|\mathbf{v}\|},
onde P_0\] é um ponto qualquer na reta e \(\mathbf{v} é o vetor diretor da reta.

Passo 2

Parametrizamos a reta s escolhendo z=t. Assim
x=5t,\quad y=2t+2,\quad z=t,
ou seja
s:\;X(t)=(5t,\;2t+2,\;t).
Um ponto P_0 na reta é o de parâmetro t=0:
P_0=(0,2,0).

Passo 3

O vetor diretor \mathbf{v} de s é dado pelos coeficientes de t:
\mathbf{v}=(5,2,1).
O vetor que liga P_0 a R é
R-P_0=(1-0,\;2-2,\;1-0)=(1,0,1).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
(R-P_0)\times \mathbf{v} =(1,0,1)\times(5,2,1) =(-2,\,4,\,2),
cuja norma é
\big\|(-2,4,2)\big\| =\sqrt{(-2)^2+4^2+2^2} =\sqrt{4+16+4} =\sqrt{24} =2\sqrt{6}.

Passo 5

A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{5^2+2^2+1^2} =\sqrt{25+4+1} =\sqrt{30}.
Logo a distância é
d =\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{30}} =2\sqrt{\frac{6}{30}} =2\sqrt{\frac{1}{5}} =\frac{2}{\sqrt{5}} =\frac{2\sqrt{5}}{5}.

Resposta

\frac{2\sqrt{5}}{5}

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