John Quincy Adams (4 pontos) Dados: \alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=-t \\\ z=1-t+h\end{array} \quad t, h \in \Re\right. r: X=(1,2,1)+\lambda(2,2,3), \quad \lambda \in \Re, \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=5 z \\\ y-2 z=2\end{array} \quad\right. e A(0,1,6) Determine:
Uma equação vetorial do plano \pi tal que \pi / / s, \pi \perp \alpha e A \in \pi

Passo 1

O enunciado nos dá
– o plano \alpha\) parametrizado por \[\alpha:\begin{cases} x=1-t,\\\ y=-t,\\\ z=1-t+h, \end{cases} \quad t,h\in\mathbb{R},
– a reta
s:\begin{cases} x=5z,\\\ y-2z=2, \end{cases}
– o ponto A(0,1,6)\]. Queremos um plano \(\pi que seja paralelo à reta s, perpendicular ao plano \alpha e que passe por A.

Passo 2

Para achar o vetor normal de \alpha, note que as direções do parâmetro são
\mathbf d_{t}=(-1,\,-1,\,-1),\quad \mathbf d_{h}=(0,\,0,\,1).
Logo o normal de \alpha é
\mathbf n_{\alpha} =\mathbf d_{t}\times\mathbf d_{h} =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -1 & -1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =(-1,1,0).

Passo 3

A reta s pode ser parametrizada tomando z=t, daí
x=5t,\quad y=2t+2,\quad z=t,
e o vetor direção de s é
\displaystyle \mathbf v_{s}=(5,2,1).

Passo 4

Para que \pi\parallel s, precisamos ter \mathbf v_{s} contido em \pi, isto é, o normal \mathbf n_{\pi} de \pi deve ser ortogonal a \mathbf v_{s}.
Para que \pi\perp\alpha, \mathbf n_{\pi} deve também ser ortogonal a \mathbf n_{\alpha}.
Logo
\mathbf n_{\pi} =\mathbf n_{\alpha}\times\mathbf v_{s} =(-1,1,0)\times(5,2,1) =(1,1,-7).

Passo 5

A equação vetorial de um plano com normal \mathbf n_{\pi} passando por A pode ser dada por
(\mathbf r-\mathbf A)\cdot\mathbf n_{\pi}=0
ou, escolhendo dois vetores diretores em \pi (um deles é \mathbf v_{s} e outro qualquer ortogonal a \mathbf n_{\pi}, por exemplo (1,-1,0)), obtemos
\mathbf r =\underbrace{(0,1,6)}_{\mathbf A} +\lambda\,(5,2,1) +\mu\,(1,-1,0),\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{ \mathbf r =(0,1,6)+\lambda\,(5,2,1)+\mu\,(1,-1,0),\quad \lambda,\mu\in\mathbb{R}. }

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