John Quincy Adams (4 pontos) Dados: \alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=-t \\\ z=1-t+h\end{array} \quad t, h \in \Re\right. r: X=(1,2,1)+\lambda(2,2,3), \quad \lambda \in \Re, \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=5 z \\\ y-2 z=2\end{array} \quad\right. e A(0,1,6) Determine:
O ângulo entre r e s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em \Re^3\): \(r\) definida por \[X=(1,2,1)+\lambda\,(2,2,3),\quad \lambda\in\Re,
e s definida como interseção de dois planos
\begin{cases} x=5z,\\\ y-2z=2. \end{cases}
Precisamos achar o ângulo entre r\] e \(s. Para isso, vamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Da forma paramétrica de r, o vetor diretor é
\mathbf v_r = (2,2,3).

Passo 3

Para s, tomamos z=t como parâmetro. Então
x=5t,\quad y=2t+2,\quad z=t
e o vetor diretor de s é
\mathbf v_s = (5,2,1).

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf v_r \cdot \mathbf v_s =2\cdot5 + 2\cdot2 + 3\cdot1 = 17,
\|\mathbf v_r\| = \sqrt{2^2+2^2+3^2} = \sqrt{17}, \quad \|\mathbf v_s\| = \sqrt{5^2+2^2+1^2} = \sqrt{30}.

Passo 5

Pela fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores:
\cos\theta = \frac{\mathbf v_r \cdot \mathbf v_s}{\|\mathbf v_r\|\,\|\mathbf v_s\|} = \frac{17}{\sqrt{17}\,\sqrt{30}} = \frac{17}{\sqrt{510}}.

Passo 6

Logo,
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{17}{\sqrt{510}}\Bigr).
Em aproximação decimal, \theta\approx41^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{17}{\sqrt{510}}\Bigr)\approx41^\circ

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