John Quincy Adams (4 pontos) Dados: \alpha:\left\{\begin{array}{l}x=1-t \\\ y=-t \\\ z=1-t+h\end{array} \quad t, h \in \Re\right. r: X=(1,2,1)+\lambda(2,2,3), \quad \lambda \in \Re, \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=5 z \\\ y-2 z=2\end{array} \quad\right. e A(0,1,6) Determine:
O ângulo entre s e \alpha

Passo 1

Resumindo, temos o plano \alpha definido por
\alpha\colon x=1-t,\;y=-t,\;z=1-t+h com t,h\in\Re
e a reta s dada pelo sistema
\;x=5z,\;y-2z=2.
O que se pede é o ângulo entre a reta s e o plano \alpha.
Para resolver, vamos usar o vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta, pois o ângulo \theta entre reta e plano satisfaz
\sin\theta = \frac{\lvert n\cdot d\rvert}{\|n\|\|d\|}.

Passo 2

Determinamos primeiro dois vetores diretores de \alpha a partir dos parâmetros t e h:
v_1 = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial t} = (-1,-1,-1)
v_2 = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial h} = (0,0,1)
O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
n = v_1 \times v_2 = (-1,1,0)

Passo 3

A reta s é interseção dos planos
x - 5z = 0
y - 2z = 2
cuja normal são
n_1 = (1,0,-5) \quad\text{e}\quad n_2 = (0,1,-2).
O vetor diretor de s é
d = n_1 \times n_2 = (5,2,1)

Passo 4

Aplicamos a fórmula do ângulo entre reta e plano:
\sin\theta = \frac{\lvert n \cdot d\rvert}{\|n\|\|d\|}

Passo 5

Calculamos os produtos e normas:
n\cdot d = (-1)\cdot5 + 1\cdot2 + 0\cdot1 = -3
\|n\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \quad,\quad \|d\| = \sqrt{5^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{30}
Logo
\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{2}\,\sqrt{30}} = \frac{3}{\sqrt{60}}
e por fim
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{60}}\bigr) \approx 22{,}78^\circ

Resposta

\displaystyle \theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{60}}\bigr)\approx22{,}78^\circ

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