José tem 2 dados. O dado A tem três faces vermelhas e três azuis. O dado B tem 2 faces vermelhas e 4 azuis. Ele escolhe um dos dados ao acaso e o lança. Se a face que sai é azul, ele lança a seguir o dado A, se é vermelha, ele lança o dado B.
a) Qual é a probabilidade de que o segundo dado lançado seja o dado B ?
b) Qual é a probabilidade que saia uma face vermelha no segundo lançamento?
c) Se a face que sai no segundo lançamento é vermelha, qual é a probabilidade de que o primeiro dado lançado tenha sido o A ?

Passo 1

O enunciado diz que José escolhe com probabilidade igual o dado A ou o dado B no primeiro lançamento; se a face do primeiro lançamento for azul, o segundo lançamento é no dado A, e se for vermelha, o segundo lançamento é no dado B. Precisamos calcular:
a) Pr(segundo dado=B),
b) Pr(face vermelha no segundo lançamento)ç,
c) Pr(primeiro dado=Amid vermelho no segundo lançamento)ç.
O conteúdo usado será probabilidade total e probabilidade condicional (teorema de Bayes).

Passo 2

Para o item (a), o segundo dado é B exatamente quando o primeiro resultado é vermelho. Logo
Pr(segundo dado=B)=Pr(R1) =Pr(R1mid A)Pr(A)+Pr(R1mid B)Pr(B) =12cdot12+13cdot12 =512

Passo 3

Para o item (b), usamos a divisão em dois casos conforme o segundo dado:
Pr(R2) =Pr(segundo dado=A)Pr(R2mid A) +Pr(segundo dado=B)Pr(R2mid B)
Como Pr(segundo dado=A)=1-tfrac512=tfrac712, Pr(R2mid A)=tfrac12, Pr(R2mid B)=tfrac13, obtemos
Pr(R2) =712cdot12+512cdot13 =3172

Passo 4

Para o item (c), aplicamos Bayes:
Pr(Amid R2) =Pr(A e R2)Pr(R2)
Calculamos Pr(A,R2) condicionando na cor do primeiro lançamento:
Pr(A,R2) =Pr(A)l[Pr(B1mid A)Pr(R2mid A)+Pr(R1mid A)Pr(R2mid B)r] =12l[tfrac12cdottfrac12+tfrac12cdottfrac13r] =524
Portanto
Pr(Amid R2) =tfrac524tfrac3172 =1531

Resposta

(a) 512
(b) 3172
(c) 1531

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