José tem 2 dados. O dado A tem três faces vermelhas e três azuis. O dado B tem 2 faces vermelhas e 4 azuis. Ele escolhe um dos dados ao acaso e o lança. Se a face que sai é azul, ele lança a seguir o dado A, se é vermelha, ele lança o dado B.
a) Qual é a probabilidade de que o segundo dado lançado seja o dado
?
b) Qual é a probabilidade que saia uma face vermelha no segundo lançamento?
c) Se a face que sai no segundo lançamento é vermelha, qual é a probabilidade de que o primeiro dado lançado tenha sido o A ?
a) Qual é a probabilidade de que o segundo dado lançado seja o dado
b) Qual é a probabilidade que saia uma face vermelha no segundo lançamento?
c) Se a face que sai no segundo lançamento é vermelha, qual é a probabilidade de que o primeiro dado lançado tenha sido o A ?
Passo 1
O enunciado diz que José escolhe com probabilidade igual o dado
ou o dado
no primeiro lançamento; se a face do primeiro lançamento for azul, o segundo lançamento é no dado
, e se for vermelha, o segundo lançamento é no dado
. Precisamos calcular:
a) ,
b) ,
c) .
O conteúdo usado será probabilidade total e probabilidade condicional (teorema de Bayes).
a)
b)
c)
O conteúdo usado será probabilidade total e probabilidade condicional (teorema de Bayes).
Passo 2
Para o item (a), o segundo dado é
exatamente quando o primeiro resultado é vermelho. Logo
Passo 3
Para o item (b), usamos a divisão em dois casos conforme o segundo dado:
Como
,
,
, obtemos
Passo 4
Para o item (c), aplicamos Bayes:
Calculamos
condicionando na cor do primeiro lançamento:
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)