A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha a soma de pontos 7, caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7. Se A é o primeiro a jogar, qual é a probabilidade de A ser o vencedor?

Passo 1

O enunciado diz que A e B lançam alternadamente um par de dados até que alguém obtenha soma 7, e A começa. A disputa para no primeiro que obtiver soma 7. A gente quer a probabilidade de A ganhar. Aqui o conteúdo é distribuição geométrica e soma de série infinita: a chance de “sucesso” num lançamento é sempre a mesma, e A só joga nos turnos ímpares.

Passo 2

A probabilidade de obter soma 7 num par de dados é o número de casos favoráveis sobre o total. Há 6 combinações que somam 7 em 36 resultados, logo
p = 636 = 16
A probabilidade de não obter 7 num lançamento é
q = 1 - p = 56

Passo 3

Para A ganhar, ele pode obter 7 já no primeiro lance (probabilidade p), ou falhar e B falhar e então A obter 7 no seu segundo lance, e assim por diante. A sequência “A ganha no k-ésimo lance de A” ocorre com probabilidade
q^2(k-1),p,
pois em cada ciclo A e B falham (fator q^2) até o ciclo anterior, e no k-ésimo A acerta.

Passo 4

Somando sobre todos os ciclos de A temos uma série geométrica:
P(A ganha) = sumk=1^infty q^2(k-1),p = p sumk=0^infty (q^2)^k = p1 - q^2

Passo 5

Substituindo p=tfrac16 e q^2=(tfrac56)^2=tfrac2536, vem
P(A ganha) = tfrac161 - tfrac2536 = tfrac16tfrac1136 = 16cdot3611 = 611

Resposta

611

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