A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles obtenha a soma de pontos 7, caso em que a disputa termina e o vencedor é o jogador que obteve soma 7. Se A é o primeiro a jogar, qual é a probabilidade de A ser o vencedor?
Passo 1
O enunciado diz que A e B lançam alternadamente um par de dados até que alguém obtenha soma 7, e A começa. A disputa para no primeiro que obtiver soma 7. A gente quer a probabilidade de A ganhar. Aqui o conteúdo é distribuição geométrica e soma de série infinita: a chance de “sucesso” num lançamento é sempre a mesma, e A só joga nos turnos ímpares.
Passo 2
A probabilidade de obter soma 7 num par de dados é o número de casos favoráveis sobre o total. Há 6 combinações que somam 7 em
resultados, logo
A probabilidade de não obter 7 num lançamento é
Passo 3
Para A ganhar, ele pode obter 7 já no primeiro lance (probabilidade
), ou falhar e B falhar e então A obter 7 no seu segundo lance, e assim por diante. A sequência “A ganha no k-ésimo lance de A” ocorre com probabilidade
pois em cada ciclo A e B falham (fator
) até o ciclo anterior, e no k-ésimo A acerta.
Passo 4
Somando sobre todos os ciclos de A temos uma série geométrica:
Passo 5
Substituindo
e
, vem