22.4: No Exemplo 21.10 (Seção 21.5), verificamos que o campo elétrico produzido por um fio retilíneo infinito carregado é perpendicular ao fio e possui módulo
. Considere uma superfície cilíndrica imaginátia de raio
e comprimento
, com uma carga positiva distribuída uniformemente sobre seu comprimento. A carga por unidade de comprimento sobre a linha é
. (a) Qual é o fluxo elétrico através do cilindro produzido pelo fio infinito? (b) Qual é o fluxo elétrico através do cilindro quando seu raio aumenta para
? © Qual é o fluxo eléfrico através do cilindro quando seu comprimento aumenta para
?
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem um fio retilíneo infinito carregado com densidade linear de carga
. Em volta desse fio, imaginamos um cilindro de raio
e comprimento
. Precisamos calcular o fluxo elétrico
que sai desse cilindro para três situações:
(a) ,
,
(b) (mantendo
),
© (com
).
(a)
(b)
©
Conteúdo: Lei de Gauss e conceito de fluxo elétrico. O que vamos usar:
- Lei de Gauss:
. - Cálculo de carga interna num cilindro:
.
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, vamos entender a Lei de Gauss: ela diz que o fluxo elétrico total que sai de uma superfície fechada é dado pela carga que está dentro dessa superfície, dividida pela constante
. Aqui o cilindro é nossa superfície fechada (a tampa de cima e de baixo não contribuem porque o campo é radial), então basta achar a carga interna e dividir por
.
Passo 3
Calcular a carga interna
:
Como a carga está uniformemente distribuída no fio, e ele passa pelo eixo do cilindro, toda a carga dentro do cilindro é
Como a carga está uniformemente distribuída no fio, e ele passa pelo eixo do cilindro, toda a carga dentro do cilindro é
Passo 4
Aplicar a Lei de Gauss para achar o fluxo
:
Repare que essa expressão não depende do raio
, só de
e
.
Passo 5
Agora, só falta botar números. Primeiro, lembrando:
,
.
(a) Para
:
Passo 6
(b) Quando
dobra para
mas
continua
, a fórmula diz que
não muda. Logo
Passo 7
© Agora
dobra para
(e
). Como
, dobra também:
Resposta
(a)
(b)
©
(b)
©