Exercício 18. (F. 7.4, ex.1) Resolva a equação do calor
c partial upartial t(t, x)=k partial^2 upartial x^2(t, x), x in R, t>0 u(0, x)=f(x), x in R
para
f(x)=c|c T, & |x| <= a 0, & |x|>a

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
partial upartial t(t,x)=k,partial^2 upartial x^2(t,x), xinR,;t>0
com condição inicial
u(0,x)=f(x)= T,&|x|<= a, 0,&|x|>a
O conteúdo aqui é usar a representação da solução em R via convolução com o núcleo fundamental (heat kernel)
Gt(x)=1raiz4pi k,te^-x^2/(4kt)

Passo 2

Pela teoria do problema de Cauchy na reta, a solução é
u(t,x)=(Gt * f)(x) =integral-infty^inftyGt(x-y),f(y),dy
Como f(y) vale T somente em [-a,a] e 0 fora, o integral vira
u(t,x) =integral-a^a1raiz4pi k,te^-(x-y)^2/(4kt),T,dy

Passo 3

Fatorando T e escrevendo em display,
u(t,x) =Traiz4pi k,t integral-a^ae^-(x-y)^24kt,dy
Para resolver o integral, fazemos a mudança de variável
s=y-x2raizk,t, dy=2raizk,t,ds
Quando y=-a então s=(-a-x)/(2raizkt), e quando y=a então s=(a-x)/(2raizkt).

Passo 4

Sob essa mudança,
Recordando a definição da função erro
podemos escrever
Aqui e .

Passo 5

Substituindo na expressão de obtemos
Como , isso fica

Resposta

que é a solução do problema de Cauchy para a barra infinita com condição inicial uniforme em .

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