Exercício 18. (F. 7.4, ex.1) Resolva a equação do calor
para
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação do calor
com condição inicial
O conteúdo aqui é usar a representação da solução em
R via convolução com o núcleo fundamental (heat kernel)
Passo 2
Pela teoria do problema de Cauchy na reta, a solução é
Como
f(y) vale
T somente em
[-a,a] e
0 fora, o integral vira
Passo 3
Fatorando
T e escrevendo em display,
Para resolver o integral, fazemos a mudança de variável
Quando
y=-a então
s=(-a-x)/(2raizkt) , e quando
y=a então
s=(a-x)/(2raizkt) .
Passo 4
Sob essa mudança,
Recordando a definição da função erro
podemos escrever
Aqui
e
.
Passo 5
Substituindo na expressão de
obtemos
Como , isso fica
Resposta
que é a solução do problema de Cauchy para a barra infinita com condição inicial uniforme em
.