Um jovem pretende arremessar uma bola de papel para acertar um cesto de lixo que está a uma altura H acima da mão dele. Seja v0 circ módulo da velocidade imprimida à bola pelo garoto, theta o ângulo entre o vetor velocidade inicial e a mão do garoto e g o módulo da aceleração gravitacional, determine:
a) O tempo decorrido entre o arremesso e o instante que a bola atinge a lixeira.
b) O vetor velocidade ao atingir a lixeira.

Passo 1

Então, o que temos é um jovem que arremessa uma bola de papel com velocidade de módulo v0 num ângulo theta acima da horizontal, querendo acertar um cesto de lixo a uma altura H acima da mão dele. Isso é lançamento oblíquo (cinemática 2D). Para resolver a parada a gente vai:
  1. decompor vec v0 em componentes horizontal e vertical;
  2. usar a equação da posição vertical y(t);
  3. resolver a equação quadrática pra achar o tempo em que y=H;
  4. usar a fórmula do vetor velocidade vec v(t) pra encontrar a velocidade no instante do “pluf”.

Passo 2

Escolhendo eixos: x horizontal (pra frente) e y vertical (pra cima). A gravidade só atua em y com ay=-g.
Componentes iniciais:
v0x=v0costheta, v0y=v0sintheta
A posição vertical vale
y(t)=v0y,t-tfrac12,g,t^2
Como y(0)=0 e queremos y(t)=H, impomos
v0sintheta,t-tfrac12,g,t^2 = H,
que é uma equação de 2º grau em t.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
-tfrac12,g,t^2 + v0sintheta,t - H = 0 ;Longrightarrow; tfrac12,g,t^2 - v0sintheta,t + H = 0
Usando Bhaskara ( a=tfrac12g, b=-v0sintheta, c=H):
t = -bpmraizb^2-4ac2a = v0sintheta pm raiz(v0sintheta)^2 - 2gHg
Isso mostra que a bola passa na altura H duas vezes:
  • Subida: usa-se o sinal “ -”.
  • Descida: usa-se o sinal “ +”.
    Como queremos o instante em que ela “cai” no cesto, escolhemos
t = v0sintheta + raizv0^2sin^2theta - 2gHg

Passo 4

No lançamento oblíquo a gente sabe que
vx(t)=v0x=v0costheta, vy(t)=v0y-g,t = v0sintheta - g,t
Logo, no instante t acima, o vetor velocidade é
vec v = v0costheta,i + l(v0sintheta - g,tr),j

Resposta

a) t = v0sintheta pm raizv0^2sin^2theta - 2gHg
(o “ +” dá o instante de descida, que bate no cesto).
b) vec v = v0costheta,i + l(v0sintheta - g,tr),j,
com t calculado no item (a).

Exercícios relacionados