Uma pequena massa m está amarrada na extremidade de um fio muito leve de comprimento L que está preso ao teto. A massa é lançada com uma velocidade de módulo constante v de modo a descrever um movimento circular no plano horizontal. Durante o movimento circular, o fio faz um ângulo theta com a vertical. Em termos de, no máximo, g (gravidade), L e theta, calcule o tempo necessário para a massa m executar uma volta completa.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma massa m pendurada por um fio de comprimento L que gira num círculo horizontal, mantendo o fio inclinado de um ângulo θ em relação à vertical. O movimento é uniforme (velocidade constante). A matéria envolvida é Dinâmica de Movimento Circular: a gente vai precisar decompor as forças que atuam na massa, entender como surge a força centrípeta e usar essa relação pra achar a velocidade em função de g, L e θ. Depois, basta usar a fórmula do tempo de uma volta (período) em função do raio e da velocidade.

Passo 2

Primeiro, desenha as forças que agem na massa:
  1. O peso, vec P = m,vec g, aponta pra baixo.
  2. A tensão do fio, vec T, aponta ao longo do fio, fazendo um ângulo θ com a vertical.
Como o movimento é circular e está em equilíbrio vertical (não sobe nem desce), separamos a tensão nas componentes vertical e horizontal:
  • Componente vertical (equilíbrio com o peso):
Tcostheta = mg
  • Componente horizontal (essa é a resultante centrípeta que mantém o movimento circular):
Tsintheta = m,v^2r,
em que r é o raio do círculo horizontal, ou seja r = Lsintheta.

Passo 3

Agora a gente isola T da equação vertical e substitui na horizontal pra achar v.
Da vertical:
T = mgcostheta
Substituindo em Tsintheta = m,v^2/r:
mgcostheta,sintheta ;=;m,v^2Lsintheta
Cancelamos m e resolvemos para v^2:
g,tantheta = v^2Lsintheta Longrightarrow v^2 = g,L,sintheta,tantheta = g,L,sin^2thetacostheta
Logo
v = raizg,L,sin^2thetacostheta

Passo 4

O tempo de uma volta completa (período Tper) é dado por
Tper = comprimento da circunferênciavelocidade = 2pi,rv = 2pi,Lsintheta raizg,L,sin^2thetacostheta ê
Bastam alguns cancelamentos dentro da raiz:
Tper = 2pi,Lsintheta ;raizcosthetag,L,sin^2theta = 2pi,raizLcosthetag

Resposta

O tempo necessário para uma volta completa é
boxedT = 2pi,raizLcosthetag,

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