Uma pequena massa
está amarrada na extremidade de um fio muito leve de comprimento
que está preso ao teto. A massa é lançada com uma velocidade de módulo constante v de modo a descrever um movimento circular no plano horizontal. Durante o movimento circular, o fio faz um ângulo
com a vertical. Em termos de, no máximo, g (gravidade),
e
, calcule o tempo necessário para a massa
executar uma volta completa.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos uma massa m pendurada por um fio de comprimento L que gira num círculo horizontal, mantendo o fio inclinado de um ângulo θ em relação à vertical. O movimento é uniforme (velocidade constante). A matéria envolvida é Dinâmica de Movimento Circular: a gente vai precisar decompor as forças que atuam na massa, entender como surge a força centrípeta e usar essa relação pra achar a velocidade em função de g, L e θ. Depois, basta usar a fórmula do tempo de uma volta (período) em função do raio e da velocidade.
Passo 2
Primeiro, desenha as forças que agem na massa:
- O peso,
, aponta pra baixo. - A tensão do fio,
, aponta ao longo do fio, fazendo um ângulo θ com a vertical.
Como o movimento é circular e está em equilíbrio vertical (não sobe nem desce), separamos a tensão nas componentes vertical e horizontal:
- Componente vertical (equilíbrio com o peso):
- Componente horizontal (essa é a resultante centrípeta que mantém o movimento circular):
em que
é o raio do círculo horizontal, ou seja
.
Passo 3
Agora a gente isola
da equação vertical e substitui na horizontal pra achar
.
Da vertical:
Da vertical:
Substituindo em
:
Cancelamos
e resolvemos para
:
Logo
Passo 4
O tempo de uma volta completa (período
) é dado por
Bastam alguns cancelamentos dentro da raiz:
Resposta
O tempo necessário para uma volta completa é