Um piloto de Fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o carro tem, pelo menos, um entre dois problemas: de injeção e/ou de bobina. A probabilidade de haver problema de injeção é de 0,60 e a de bobina, 0,70 (os problemas ocorrem de maneira independente). Por outro lado, as probabilidades do carro retornar à corrida são:
0,80 , se houver só problema de bobina, 0,40 , se houver só problema de injeção, 0,20 , se houver ambos os problemas
Qual a probabilidade do carro retornar à corrida?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: um carro de F1 acabou de entrar no boxe e sabemos que ele tem pelo menos um dos dois problemas: injeção (probabilidade 0,60) e bobina (probabilidade 0,70). Eles ocorrem de forma independente. Além disso, se só tiver problema de bobina, a chance de voltar à corrida é 0,80; se só tiver injeção, é 0,40; se tiver os dois, é 0,20.
Aqui a matéria é Probabilidade – especificamente Lei da Probabilidade Total e Probabilidade Condicional (por causa do “pelo menos um problema”). A gente vai:
  1. listar os três cenários possíveis (só bobina, só injeção, os dois),
  2. achar suas probabilidades conjuntas,
  3. normalizar (já que o carro tem certamente um desses cenários),
  4. aplicar a lei da prob. total pra achar a probabilidade de retorno.

Passo 2

Definindo eventos:
I = “há problema de injeção” com P(I)=0,60
B = “há problema de bobina” com P(B)=0,70
Como são independentes:
P(Icap B)=P(I),P(B)=0,6times0,7=0,42
P(Icap B^c)=P(I),P(B^c)=0,6times(1-0,7)=0,6times0,3=0,18
P(I^ccap B)=P(I^c),P(B)=0,4times0,7=0,28
Esses três eventos (“só injeção”, “só bobina” e “os dois”) são exaustivos dentro do cenário “pelo menos um problema”.

Passo 3

Como o enunciado garante que não há o caso “nenhum problema”, a soma das probabilidades dos três casos vira 1 condicionalmente. Mas a soma que achamos deu:
0,42 + 0,18 + 0,28 = 0,88
Isso significa que, no mundo normal, tem 12% de chance de não haver problema, mas esse mundo é excluído (“pelo menos um”). Então precisamos normalizar dividindo cada prob. por 0,88, para virar a distribuição condicional dado que há pelo menos um problema.
Por exemplo,
P(só bobinamid pelo menos um)=0,280,88, ó

Passo 4

Agora usamos a Lei da Probabilidade Total no espaço “pelo menos um problema”:
P(retorna)= P(retornamid Icap B),P(Icap Bmidpelo menos um) +P(retornamid Icap B^c),P(Icap B^cmidpelo menos um) +P(retornamid I^ccap B),P(I^ccap Bmidpelo menos um)
Substituindo:
  • P(retornamid Icap B)=0,20
  • P(retornamid Icap B^c)=0,40
  • P(retornamid I^ccap B)=0,80
E as probabilidades condicionais:
P(Icap Bmidpelo menos um)=0,420,88, P(Icap B^cmidpelo menos um)=0,180,88, P(I^ccap Bmidpelo menos um)=0,280,88
Logo:
P(retorna) =0,20cdot0,420,88 +0,40cdot0,180,88 +0,80cdot0,280,88

Passo 5

Basta calcular:
  1. 0,20times0,420,88approx 0,09545
  2. 0,40times0,180,88approx 0,08182
  3. 0,80times0,280,88approx 0,25455
Somando:
0,09545 + 0,08182 + 0,25455 approx 0,43182

Resposta

A probabilidade de o carro retornar à corrida é aproximadamente 0,432, (ou 43,2%).

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