Julgue a afirmação a seguir:
" Dadas as bases e de , a matriz mudança de base de para é ."
Falso
Passo 1
O enunciado dá as bases alpha = (-1,1,0),,(1,2,-1),,(0,1,0) e beta = (1,0,1),,(-1,0,0),,(0,1,2) de R^3 e afirma que a matriz mudança de base de alpha para beta é
[I]beta^alpha = -2 & 1 & -2 -1 & 0 & 2 4 & -1 & 7
Vamos verificar calculando as coordenadas de cada vetor de alpha na base beta.
Passo 2
Recordando que a matriz de mudança de base [I]beta^alpha satisfaz
[v]beta ;=; [I]beta^alpha,[v]alpha
para todo vinR^3. Assim, a j-ésima coluna de [I]beta^alpha é exatamente [aj]beta, onde aj é o j-ésimo vetor de alpha.
Passo 3
Para
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem implica . Então da primeira, gera . Logo
Passo 4
A primeira coluna obtida é -2-11, enquanto a do enunciado é -2-14. Há divergência, logo a matriz fornecida está incorreta.