Julgue a afirmação a seguir:
“O subconjunto W=(x, y, z) in R^3 / x+y-z <= 0 é um subespaço vetorial de R^3.”
Falso

Passo 1

O enunciado pede para julgar se
W = (x,y,z)in R^3 mid x + y - z <= 0
é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, usamos o critério clássico: um subconjunto não‐vazio W de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, for fechado sob adição de vetores e sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificamos primeiro se o vetor nulo está em W.
O vetor nulo é (0,0,0) e
0 + 0 - 0 = 0 <= 0,
logo (0,0,0)in W. Assim, W é não‐vazio.

Passo 3

Agora testamos o fechamento sob multiplicação por escalar.
Escolha (x,y,z) = (0,0,1). Como
0 + 0 - 1 = -1 <= 0,
temos (0,0,1)in W.
Multiplique esse vetor pelo escalar -1:
-1cdot(0,0,1) = (0,0,-1)
Para (0,0,-1) calcula‐se
0 + 0 - (-1) = 1 not<= 0,
ou seja, (0,0,-1)notin W. Portanto W não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

A afirmação é falsa.

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