Julgue as afirmações em verdadeiras ou falsas justificando sua escolha
Passo 1
O enunciado pede para julgar se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os ângulos estão em radianos:
e . - Um dado útil que pode ser usado sem calculadora é que
(pois ), e que . Portanto . - A função cosseno está bem definida em todos os reais; ambos os argumentos
e pertencem ao intervalo .
Passo 2
Vamos entender uma propriedade crucial do cosseno no intervalo
: conforme o ângulo aumenta de
para
, o valor de
diminui. Explicando isso de maneira geométrica (intuitiva e sem cálculo pesado):
- Na circunferência trigonométrica (círculo unitário),
é a coordenada do ponto associado ao ângulo . - Quando
varia de até , o ponto percorre a semicircunferência superior da direita para a esquerda; a coordenada vai de até , portanto ela diminui estritamente ao longo desse intervalo. - Conclusão prática: em
a função é estritamente decrescente.
(Dica rápida: outra forma de ver isso é usar derivada:
, e
para
, logo a derivada é negativa e a função é decrescente. Mas a visão do círculo unitário já basta e é mais concreta.)
Passo 3
Aplicar essa propriedade ao nosso caso:
- Já observamos que
e , portanto
e ambos estão dentro de
.
- Como
é estritamente decrescente em , ângulos maiores dão cossenos menores. Logo, do fato segue
Passo 4
Para reforçar com uma verificação numérica (não necessária na prova se usar a monotonicidade, mas boa para confirmação):
-
.
Explicação curta: em um triângulo isósceles de 45º–45º–90º os catetos iguais e hipotenusavezes um cateto, então . -
(valor conhecido) é aproximadamente .
Comparandocom confirma que
Passo 5
Conclusão final: a afirmação é verdadeira, pois
e
é decrescente em
, portanto
.
Resposta
Verdadeiro