Julgue as afirmações em verdadeiras ou falsas justificando sua escolha
(\quad) \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)>\cos (1)

Passo 1

O enunciado pede para julgar se a afirmação é verdadeira ou falsa:
(\quad)\\ \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) > \cos(1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os ângulos estão em radianos: \frac{\pi}{4} e 1.
  • Um dado útil que pode ser usado sem calculadora é que \frac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854 (pois \pi\approx3,1416), e que 1=1,0. Portanto \frac{\pi}{4}<1.
  • A função cosseno está bem definida em todos os reais; ambos os argumentos \frac{\pi}{4} e 1 pertencem ao intervalo [0,\pi].

Passo 2

Vamos entender uma propriedade crucial do cosseno no intervalo [0,\pi]: conforme o ângulo aumenta de 0 para \pi, o valor de \cos diminui. Explicando isso de maneira geométrica (intuitiva e sem cálculo pesado):
  • Na circunferência trigonométrica (círculo unitário), \cos(\theta) é a coordenada x do ponto associado ao ângulo \theta.
  • Quando \theta varia de 0 até \pi, o ponto percorre a semicircunferência superior da direita para a esquerda; a coordenada x vai de 1 até -1, portanto ela diminui estritamente ao longo desse intervalo.
  • Conclusão prática: em [0,\pi] a função \theta\mapsto\cos(\theta) é estritamente decrescente.
(Dica rápida: outra forma de ver isso é usar derivada: \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta, e \sin\theta>0 para 0<\theta<\pi, logo a derivada é negativa e a função é decrescente. Mas a visão do círculo unitário já basta e é mais concreta.)

Passo 3

Aplicar essa propriedade ao nosso caso:
  • Já observamos que \dfrac{\pi}{4}\approx0,7854 e 1=1,0, portanto
\frac{\pi}{4} < 1,
e ambos estão dentro de [0,\pi].
  • Como \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], ângulos maiores dão cossenos menores. Logo, do fato \dfrac{\pi}{4}<1 segue
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) > \cos(1).

Passo 4

Para reforçar com uma verificação numérica (não necessária na prova se usar a monotonicidade, mas boa para confirmação):
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,7071.
    Explicação curta: em um triângulo isósceles de 45º–45º–90º os catetos iguais e hipotenusa \sqrt{2} vezes um cateto, então \cos45^\circ=1/\sqrt{2}=\sqrt{2}/2.
  • \cos(1) (valor conhecido) é aproximadamente 0,5403.
    Comparando 0,7071 com 0,5403 confirma que
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\approx0,7071 > 0,5403\approx\cos(1).

Passo 5

Conclusão final: a afirmação é verdadeira, pois \frac{\pi}{4}<1 e \cos é decrescente em [0,\pi], portanto \cos(\frac{\pi}{4})>\cos(1).

Resposta

Verdadeiro

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