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Questāo: A solução de D’Alembert para o problema
é dada por
(i) Obtenha a solução para
e
.
Passo 1
O enunciado dá o problema da onda na reta inteira com velocidade de propagação
e as condições iniciais:
- Equação:
- Condições iniciais:
O que se pede: obter explicitamente
que resolve o problema com essas condições iniciais.
Passo 2
A solução de D’Alembert (fornecida) é:
onde:
-
é a condição inicial de deslocamento, isto é ; -
é a condição inicial de velocidade, isto é ; -
é a velocidade de propagação da onda; - o primeiro termo representa duas ondas viajantes das formas iniciais
deslocadas para a direita e para a esquerda; - o segundo termo incorpora o efeito da velocidade inicial
através de uma integral sobre o intervalo .
Passo 3
Aqui temos
e
. Substituindo na fórmula de D’Alembert o termo com
desaparece e ficamos com
Passo 4
Calcular a integral. Como
, avaliando nos limites:
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica de soma/diferença:
Substituindo isso em
obtém-se
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (para garantir que não houve erro):
- Em
: que coincide com . - Derivando em
: então em : que coincide com a condição dada.
Portanto a expressão encontrada satisfaz o problema.