• 2^{\text {a }} Questāo: A solução de D’Alembert para o problema
\left\{\begin{array}{l} a^{2} u_{x x}=u_{t t}, \quad-\infty<x<\infty, t>0 \\\ u(x, 0)=f(x) \\\ u_{t}(x, 0)=g(x) \end{array}\right.
é dada por
u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x+a t)+f(x-a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x-a t}^{x+a t} g(s) d s
(i) Obtenha a solução para u(x, 0)=0 e u_{t}(x, 0)=\cos x.

Passo 1

O enunciado dá o problema da onda na reta inteira com velocidade de propagação a e as condições iniciais:
  • Equação: a^{2}u_{xx}=u_{tt},\quad -\infty<x<\infty,\\ t>0.
  • Condições iniciais: u(x,0)=0,\qquad u_{t}(x,0)=\cos x.
O que se pede: obter explicitamente u(x,t) que resolve o problema com essas condições iniciais.

Passo 2

A solução de D’Alembert (fornecida) é:
u(x,t)=\frac{1}{2}\bigl[f(x+at)+f(x-at)\bigr]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at} g(s)\,ds,
onde:
  • f(x) é a condição inicial de deslocamento, isto é f(x)=u(x,0);
  • g(x) é a condição inicial de velocidade, isto é g(x)=u_{t}(x,0);
  • a é a velocidade de propagação da onda;
  • o primeiro termo representa duas ondas viajantes das formas iniciais f deslocadas para a direita e para a esquerda;
  • o segundo termo incorpora o efeito da velocidade inicial g através de uma integral sobre o intervalo [x-at,x+at].

Passo 3

Aqui temos f(x)=0 e g(x)=\cos x. Substituindo na fórmula de D’Alembert o termo com f desaparece e ficamos com
u(x,t)=\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\cos s\,ds.

Passo 4

Calcular a integral. Como \displaystyle\int \cos s\,ds=\sin s, avaliando nos limites:
\int_{x-at}^{x+at}\cos s\,ds=\sin(x+at)-\sin(x-at).

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica de soma/diferença:
\sin(x+at)-\sin(x-at)=2\cos x\sin(at).
Substituindo isso em u(x,t) obtém-se
u(x,t)=\frac{1}{2a}\bigl(2\cos x\sin(at)\bigr)=\frac{1}{a}\cos x\sin(at).

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (para garantir que não houve erro):
  • Em t=0: u(x,0)=\frac{1}{a}\cos x\sin(0)=0, que coincide com u(x,0)=0.
  • Derivando em t: u_{t}(x,t)=\frac{1}{a}\cos x\cdot a\cos(at)=\cos x\cos(at), então em t=0: u_{t}(x,0)=\cos x, que coincide com a condição dada.
Portanto a expressão encontrada satisfaz o problema.

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{a}\cos x\sin(at)

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