Dados os dois deslocamentos
\overrightarrow{\mathbf{D}}=(9,8 \hat{i}+3,3 \hat{j}+7,7 \hat{k}) m \mathrm{e}
\overrightarrow{\mathbf{E}}=(9,8 \hat{i}+5 \hat{j}+9,1 \hat{k}) m ,encontre o
módulo do deslocamento 2 \overrightarrow{\mathbf{D}}-\overrightarrow{\mathbf{E}}

Passo 1

O enunciado pede o módulo do deslocamento 2\overrightarrow{\mathbf{D}}-\overrightarrow{\mathbf{E}}. As informações fornecidas são os dois vetores deslocamento (em metros):
\overrightarrow{\mathbf{D}} = 9,8\hat{i} + 3,3\hat{j} + 7,7\hat{k}
\overrightarrow{\mathbf{E}} = 9,8\hat{i} + 5\hat{j} + 9,1\hat{k}
Resumo do que precisamos: calcular primeiro o vetor \;2\overrightarrow{\mathbf{D}}-\overrightarrow{\mathbf{E}}\; componente a componente e depois encontrar o módulo (norma) desse vetor.

Passo 2

Relembrando duas operações importantes com vetores (aula rápida e prática):
  • Multiplicação por escalar: se \overrightarrow{\mathbf{D}}=(D_x,D_y,D_z), então 2\overrightarrow{\mathbf{D}}=(2D_x,2D_y,2D_z). Aqui cada componente é multiplicada por 2.
  • Subtração componente a componente: se \overrightarrow{\mathbf{A}}=(A_x,A_y,A_z) e \overrightarrow{\mathbf{B}}=(B_x,B_y,B_z), então \overrightarrow{\mathbf{A}}-\overrightarrow{\mathbf{B}}=(A_x-B_x,\;A_y-B_y,\;A_z-B_z).
Vamos aplicar isso passo a passo ao problema.

Passo 3

Calcular 2\overrightarrow{\mathbf{D}} multiplicando cada componente de \overrightarrow{\mathbf{D}} por 2:
2\overrightarrow{\mathbf{D}} = 2\cdot(9,8\hat{i} + 3,3\hat{j} + 7,7\hat{k}) = 19,6\hat{i} + 6,6\hat{j} + 15,4\hat{k}.

Passo 4

Agora subtrair \overrightarrow{\mathbf{E}} de 2\overrightarrow{\mathbf{D}}, componente a componente:
2\overrightarrow{\mathbf{D}}-\overrightarrow{\mathbf{E}} = (19,6-9,8)\hat{i} + (6,6-5)\hat{j} + (15,4-9,1)\hat{k}.
Calculando as diferenças:
19,6-9,8 = 9,8,\quad 6,6-5 = 1,6,\quad 15,4-9,1 = 6,3.
Portanto o vetor resultante é
\overrightarrow{\mathbf{V}} := 2\overrightarrow{\mathbf{D}}-\overrightarrow{\mathbf{E}} = 9,8\hat{i} + 1,6\hat{j} + 6,3\hat{k}.

Passo 5

Agora vamos achar o módulo (norma) de um vetor em três dimensões. A fórmula é:
\|\overrightarrow{\mathbf{V}}\| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2},
onde V_x,V_y,V_z são as componentes do vetor \overrightarrow{\mathbf{V}}. Isso vem do teorema de Pitágoras estendido para 3D: soma dos quadrados das projeções sobre os eixos.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao vetor \overrightarrow{\mathbf{V}}=(9,8,\,1,6,\,6,3):
Calcule cada quadrado:
9,8^2 = 96,04,\quad 1,6^2 = 2,56,\quad 6,3^2 = 39,69.
Somando:
96,04 + 2,56 + 39,69 = 138,29.
Portanto
\|\overrightarrow{\mathbf{V}}\| = \sqrt{138,29}.
Estimando a raiz quadrada (pode ser feito por aproximação ou calculadora): \sqrt{138,29}\approx 11,76 metros (arredondando para duas casas decimais, compatível com a precisão dos dados).

Passo 7

Resumo final: o vetor resultante é \overrightarrow{\mathbf{V}} = 9,8\hat{i} + 1,6\hat{j} + 6,3\hat{k} e seu módulo é aproximadamente 11,76\\ \mathrm{m}. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no passo a passo!

Resposta

\;11,76\\ \mathrm{m}

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