Julgue os itens abaixo:
O polinômio 5 x^{6}-6 x^{5}+x é divisível por (x-1)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=5x^{6}-6x^{5}+x e pede que se julgue a afirmação: "O polinômio 5x^{6}-6x^{5}+x é divisível por (x-1)^{2}".
Informações relevantes:
  • O polinômio fornecido é P(x)=5x^{6}-6x^{5}+x.
  • A pergunta é um julgamento lógico: a afirmação é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Critério prático e por que ele funciona (explicação didática): para verificar se um polinômio P(x) é divisível por (x-a)^{2} usa-se a seguinte condição equivalente:
(x-a)^{2}\\ \text{divide}\\ P(x)\quad\Longleftrightarrow\quad P(a)=0\\ \text{e}\\ P'(a)=0.
Por que isso é verdade? Se P(x)=(x-a)^{2}Q(x) para algum polinômio Q, então derivando temos
P'(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)^{2}Q'(x),
logo P(a)=0 e P'(a)=0. Inversamente, se P(a)=P'(a)=0, na expansão de Taylor de P em torno de a os termos constantes e lineares desaparecem, restando um fator (x-a)^{2}; portanto (x-a)^{2} divide P. Esse critério é muito útil em provas porque reduz a verificação a cálculos simples de valor e derivada num ponto.

Passo 3

Calcular P(1) substituindo x=1 em P(x):
P(1)=5\cdot 1^{6}-6\cdot 1^{5}+1 = 5-6+1 = 0.
Portanto P(1)=0. Isso mostra que (x-1) divide P(x) (ou seja, 1 é raiz), mas ainda não garante divisibilidade por (x-1)^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada P'(x) e avaliá-la em x=1. Derivando termo a termo:
P'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^{6}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(6x^{5}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=30x^{5}-30x^{4}+1.
Agora avaliar em x=1:
P'(1)=30\cdot 1^{5}-30\cdot 1^{4}+1 = 30-30+1 = 1.
Portanto P'(1)=1\neq 0.

Passo 5

Conclusão usando o critério: para que (x-1)^{2} dividisse P(x) era necessário ter P(1)=0 e P'(1)=0. Encontramos P(1)=0 mas P'(1)=1\neq 0. Logo a condição falha e o polinômio não é divisível por (x-1)^{2}. Em linguagem de prova: a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falso.

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