Julgue os itens abaixo:
O polinômio
é divisível por
.
O polinômio
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede que se julgue a afirmação: "O polinômio
é divisível por
".
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- O polinômio fornecido é
. - A pergunta é um julgamento lógico: a afirmação é verdadeira ou falsa?
Passo 2
Critério prático e por que ele funciona (explicação didática): para verificar se um polinômio
é divisível por
usa-se a seguinte condição equivalente:
Por que isso é verdade? Se
para algum polinômio
, então derivando temos
logo
e
. Inversamente, se
, na expansão de Taylor de
em torno de
os termos constantes e lineares desaparecem, restando um fator
; portanto
divide
. Esse critério é muito útil em provas porque reduz a verificação a cálculos simples de valor e derivada num ponto.
Passo 3
Calcular
substituindo
em
:
Portanto
. Isso mostra que
divide
(ou seja,
é raiz), mas ainda não garante divisibilidade por
.
Passo 4
Calcular a derivada
e avaliá-la em
. Derivando termo a termo:
Agora avaliar em
:
Portanto
.
Passo 5
Conclusão usando o critério: para que
dividisse
era necessário ter
e
. Encontramos
mas
. Logo a condição falha e o polinômio não é divisível por
. Em linguagem de prova: a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falso.