Resolva as inequações reais abaixo:
\left|x^{2}-5 x\right| \geqslant 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Resolver a inequação real \left|x^{2}-5 x\right| \geqslant 6.
  • Ou seja, encontrar todos os números reais x que tornam verdadeira a desigualdade acima.
  • Informação útil dada: dentro do valor absoluto está a expressão \,x^{2}-5x\, e o lado direito é o número 6.

Passo 2

Entendendo a propriedade básica do valor absoluto que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
  • Para qualquer expressão A e número real b\ge 0 vale a equivalência
|A|\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge b \\ \text{ou}\\ A\le -b.
  • Intuição: |A| mede distância de A até 0. Dizer que essa distância é maior ou igual a b significa que A está fora do intervalo fechado [-b,b], isto é, A está à direita de b ou à esquerda de -b.
  • Exemplo rápido: |t|\ge 2 tem solução t\ge 2 ou t\le -2.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso problema: aqui A=x^{2}-5x e b=6. Logo a inequação é equivalente ao sistema “ou”:
x^{2}-5x \ge 6 \quad\text{ou}\quad x^{2}-5x \le -6.

Passo 4

Colocar as inequações em forma padrão (polinômio do lado esquerdo comparado com zero):
  • Para a primeira:
x^{2}-5x \ge 6
subtraindo 6 dos dois lados:
x^{2}-5x-6 \ge 0.
  • Para a segunda:
x^{2}-5x \le -6
somando 6 aos dois lados:
x^{2}-5x+6 \le 0.

Passo 5

Fatorar os polinômios (mostrando como achar os fatores):
  • Para x^{2}-5x-6: procuramos dois números cujo produto seja -6 e cuja soma seja -5. Esses números são -6 e 1. Então
x^{2}-5x-6=(x-6)(x+1).
  • Para x^{2}-5x+6: procuramos dois números cujo produto seja +6 e cuja soma seja -5. Esses são -2 e -3. Então
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 6

Resolver a primeira inequação fatorada
(x-6)(x+1)\ge 0.
  • Zeros dos fatores: x=6 e x=-1. Esses pontos particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,6) e (6,\infty).
  • Analisar o sinal do produto em cada intervalo (tabela mental ou teste rápido):
    • Para x<-1 (ex.: x=-2): x-6<0 e x+1<0 então produto >0. Satisfaz \ge 0.
    • Para -1<x<6 (ex.: x=0): x-6<0 e x+1>0 então produto <0. Não satisfaz.
    • Para x>6 (ex.: x=7): x-6>0 e x+1>0 então produto >0. Satisfaz.
  • Como a desigualdade é \ge 0, os zeros também pertencem à solução. Portanto a solução dessa parte é
(-\infty,-1]\cup[6,\infty).

Passo 7

Resolver a segunda inequação fatorada
(x-2)(x-3)\le 0.
  • Zeros: x=2 e x=3. Intervalos: (-\infty,2), (2,3), (3,\infty).
  • Teste de sinais:
    • Para x<2 (ex.: x=0): x-2<0 e x-3<0 então produto >0. Não satisfaz \le 0.
    • Para 2<x<3 (ex.: x=2,5): x-2>0 e x-3<0 então produto <0. Satisfaz.
    • Para x>3 (ex.: x=4): x-2>0 e x-3>0 então produto >0. Não satisfaz.
  • Como a desigualdade é \le 0, os zeros x=2 e x=3 também pertencem. Logo a solução dessa parte é
[2,3].

Passo 8

Juntar as duas soluções (lembre que a condição original era “ou”):
  • União das soluções obtidas:
(-\infty,-1]\cup[6,\infty)\quad\cup\quad[2,3].
  • Simplificando a escrita (ordem crescente dos intervalos):
(-\infty,-1]\cup[2,3]\cup[6,\infty).

Passo 9

Verificação rápida com pontos de teste e extremos (confirmação de que não tem erro):
  • x=-2 pertence a (-\infty,-1]. Verificar: x^{2}-5x=4+10=14, |14|=14\ge 6 ok.
  • x=2{,}5 pertence a [2,3]. Verificar: x^{2}-5x=6{,}25-12{,}5=-6{,}25, |-6{,}25|=6{,}25\ge 6 ok.
  • x=7 pertence a [6,\infty). Verificar: 49-35=14, |14|=14\ge 6 ok.
  • Teste de um ponto que não deveria satisfazer, por exemplo x=0 (no intervalo (-1,6) que não faz parte da solução): 0-0=0, |0|=0\not\ge 6 ok.

Resposta

(-\infty,-1]\cup[2,3]\cup[6,\infty)

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