Julgue os itens abaixo:
A equação
possui duas raízes reais.
A equação
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para julgar a afirmação: “A equação
possui duas raízes reais.”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é
. - O lado direito é o número
, que é maior que zero. - É necessário dizer se a afirmação (que há duas raízes reais) é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos rever uma propriedade básica e super útil do valor absoluto, bem explicadinha: para qualquer número real
e qualquer número real
,
tem solução se, e somente se,
. Quando
as soluções são exatamente as duas possibilidades
Isso vem do fato de que
mede a distância de
até zero: se a distância é
, então
está a
de zero, ou seja,
ou
. Exemplinho rápido:
dá
ou
.
Passo 3
Aplicando essa regra à equação
, como
, temos que
pode valer
ou
. Então resolvemos os dois casos separadamente.
Caso 1:
Somando
nos dois lados:
Dividindo por
:
Caso 2:
Somando
nos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 4
Vamos checar as duas soluções encontradas plugando-as na equação original (sempre bom conferir na prova):
Para
:
que satisfaz a equação.
Para
:
que também satisfaz a equação.
Portanto ambas são raízes reais válidas.
Passo 5
Observação didática rápida para a prova (para fixar o conceito): se o lado direito fosse zero, isto é
, haveria exatamente uma solução (quando a expressão dentro do módulo fosse zero). Se o lado direito fosse negativo, não haveria solução real. Aqui temos
, então normalmente aparecem duas soluções, como aconteceu.
Resposta
Verdadeiro.