Julgue os itens abaixo:
Os valores reais de x tais que \frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{2} \geqslant x são \{x \in \mathbb{R} \mid x \leqslant 1\}.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade \dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x-1}{2} \geqslant x e pede para julgar se o conjunto dos valores reais x que satisfazem essa desigualdade é \{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant 1\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável é x e ela pertence a \mathbb{R}.
  • A condição é \dfrac{x+2}{3}-\dfrac{x-1}{2} \geqslant x.
  • A afirmação a ser julgada é que o conjunto solução é \{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant 1\}.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: levar tudo para o mesmo lado da desigualdade, isto é subtrair x de ambos os lados. Isso é permitido porque podemos somar ou subtrair a mesma quantidade em ambos os membros sem mudar a desigualdade. Obtém-se:
\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{2}-x \geqslant 0.

Passo 3

Agora vamos somar as frações. Para somar frações é útil colocá-las sobre o mesmo denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 3 e 2 é 6. Vou reescrever cada termo com denominador 6:
\frac{x+2}{3}=\frac{2(x+2)}{6}=\frac{2x+4}{6}, \qquad \frac{x-1}{2}=\frac{3(x-1)}{6}=\frac{3x-3}{6}.
Substituindo essas formas na expressão e juntando as duas primeiras frações:
\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{2}=\frac{2x+4-(3x-3)}{6}=\frac{2x+4-3x+3}{6}=\frac{-x+7}{6}.

Passo 4

Ainda falta subtrair x. Escreve-se x com denominador 6 também: x=\dfrac{6x}{6}. Assim,
\frac{x+2}{3}-\frac{x-1}{2}-x=\frac{-x+7}{6}-\frac{6x}{6}=\frac{-x+7-6x}{6}=\frac{-7x+7}{6}.
Fatorando o numerador:
\frac{-7x+7}{6}=\frac{7(1-x)}{6}.

Passo 5

Temos agora a desigualdade equivalente
\frac{7(1-x)}{6}\geqslant 0.
As constantes 7 e 6 são positivas, então dividir ou multiplicar por elas não altera o sentido da desigualdade. Portanto a desigualdade é equivalente a
1-x\geqslant 0.
Resolver 1-x\geqslant 0 é simples: isso significa que -x \geqslant -1. Multiplicando por -1 (lembrando que ao multiplicar uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte) obtemos
x \leqslant 1.

Passo 6

Portanto o conjunto solução da desigualdade é exatamente \{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant 1\}. Isso coincide com a afirmação do enunciado.

Resposta

Verdadeiro.

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