Questão 7. Se F for o campo de força definido por
ache o trabalho realizado por
ao mover uma partícula ao longo do segmento de reta do ponto
a
. Calcule a integral por dois métodos: (a) usando uma função potencial para
; (b) não usando uma função potencial para
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e pede o trabalho realizado por
ao mover uma partícula ao longo do segmento de reta do ponto
até o ponto
. Especificamente, o enunciado pede que a integral de linha (o trabalho) seja calculada por dois métodos:
- (a) usando uma função potencial para
; - (b) sem usar uma função potencial (isto é, parametrize a curva e calcule a integral diretamente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ponto inicial
. - Ponto final
. - O campo
está definido em todos os pontos exceto na origem . - O segmento de reta entre
e não passa pela origem, então não há problema de singularidade no caminho dado.
Passo 2
O que significa calcular o trabalho por um campo de forças?
- O trabalho realizado por um campo de forças
ao deslocar uma partícula ao longo de uma curva orientada de para é a integral de linha
- Se
for um campo conservativo, isto é, existir uma função potencial tal que , então a integral de linha depende apenas dos pontos finais e iniciais e vale
Vou aplicar esse fato no método (a). Antes, preciso identificar/mostrar uma função potencial para
.
Passo 3
Procurando uma função potencial
. Sugestão motivada: o campo tem forma radial e lembra o campo gravitacional/eletrostático, cuja potencial é proporcional a
, onde
. Proponho
Preciso verificar que
.
Cálculo do gradiente (mostrando as etapas):
- Defina
. Então . - Use a regra da cadeia para a derivada parcial em relação a
:
- Como
, tem-se
- Substituindo,
- De modo análogo (simetria em
), obtemos
- Assim
Portanto
é uma função potencial para
(no domínio onde
).
Passo 4
Método (a) — usar a função potencial:
Como , o trabalho é
Como
Calculemos as distâncias dos pontos à origem:
Substituindo na potencial,
Logo
Passo 5
Método (b) — parametrizar a reta e integrar diretamente:
Parametrize o segmento de a
por
com
:
Parametrize o segmento de
Então
No ponto
temos
e
Escrevemos
e calculamos o produto escalar
:
Portanto
O trabalho é a integral de
a
:
Passo 6
Calcule a integral explícita usando substituição adequada:
Faça a substituição . Então
Faça a substituição
Quando
tem-se
; quando
tem-se
. Substituindo na integral:
Calcule a primitiva:
Logo
Passo 7
Conclusão e comparação dos métodos:
- Pelo método (a), usando a função potencial
, obteve-se . - Pelo método (b), integrando diretamente com a parametrização do segmento, obteve-se a mesma resposta
.
Parabéns — dois métodos distintos, mesma resposta. Isso confirma que o campo é conservativo no caminho considerado e que a técnica da potencial é uma forma muito rápida de calcular o trabalho quando aplicável. Força nos estudos — você já tirou essa! 😃