Questão 7. Se F for o campo de força definido por
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{k(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k})}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}
ache o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo do segmento de reta do ponto (3,0,0) a (3,0,4). Calcule a integral por dois métodos: (a) usando uma função potencial para \mathbf{F}; (b) não usando uma função potencial para \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{k\,(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}
e pede o trabalho realizado por \mathbf{F} ao mover uma partícula ao longo do segmento de reta do ponto (3,0,0) até o ponto (3,0,4). Especificamente, o enunciado pede que a integral de linha (o trabalho) seja calculada por dois métodos:
  • (a) usando uma função potencial para \mathbf{F};
  • (b) sem usar uma função potencial (isto é, parametrize a curva e calcule a integral diretamente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ponto inicial A=(3,0,0).
  • Ponto final B=(3,0,4).
  • O campo \mathbf{F} está definido em todos os pontos exceto na origem (0,0,0).
  • O segmento de reta entre A e B não passa pela origem, então não há problema de singularidade no caminho dado.

Passo 2

O que significa calcular o trabalho por um campo de forças?
  • O trabalho realizado por um campo de forças \mathbf{F} ao deslocar uma partícula ao longo de uma curva C orientada de A para B é a integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Se \mathbf{F} for um campo conservativo, isto é, existir uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi, então a integral de linha depende apenas dos pontos finais e iniciais e vale
W=\varphi(B)-\varphi(A).
Vou aplicar esse fato no método (a). Antes, preciso identificar/mostrar uma função potencial para \mathbf{F}.

Passo 3

Procurando uma função potencial \varphi. Sugestão motivada: o campo tem forma radial e lembra o campo gravitacional/eletrostático, cuja potencial é proporcional a 1/r, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Proponho
\varphi(x,y,z)=-\frac{k}{r}=-\frac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Preciso verificar que \nabla\varphi=\mathbf{F}.
Cálculo do gradiente (mostrando as etapas):
  • Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Então \varphi(x,y,z)=-k\,r^{-1}.
  • Use a regra da cadeia para a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -k\frac{d}{dx}\left(r^{-1}\right) = -k\left(-1\right) r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x} = k\,r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x}.
  • Como r=\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{1/2}, tem-se
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{r}.
  • Substituindo,
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=k\,r^{-2}\cdot\frac{x}{r}=k\frac{x}{r^{3}}.
  • De modo análogo (simetria em x,y,z), obtemos
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=k\frac{y}{r^{3}},\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=k\frac{z}{r^{3}}.
  • Assim
\nabla\varphi=\left(k\frac{x}{r^{3}},\,k\frac{y}{r^{3}},\,k\frac{z}{r^{3}}\right)=\frac{k(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})}{r^{3}}=\mathbf{F}.
Portanto \varphi(x,y,z)=-\dfrac{k}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} é uma função potencial para \mathbf{F} (no domínio onde r\neq0).

Passo 4

Método (a) — usar a função potencial:
Como \mathbf{F}=\nabla\varphi, o trabalho é
W=\varphi(B)-\varphi(A).
Calculemos as distâncias dos pontos à origem:
r_A=\sqrt{3^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}=3, \qquad r_B=\sqrt{3^{2}+0^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Substituindo na potencial,
\varphi(A)=-\frac{k}{r_A}=-\frac{k}{3},\qquad \varphi(B)=-\frac{k}{r_B}=-\frac{k}{5}.
Logo
W=\varphi(B)-\varphi(A)=-\frac{k}{5}-\left(-\frac{k}{3}\right) = k\!\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=k\cdot\frac{2}{15}=\frac{2k}{15}.

Passo 5

Método (b) — parametrizar a reta e integrar diretamente:
Parametrize o segmento de A=(3,0,0) a B=(3,0,4) por \mathbf{r}(t) com t\in[0,1]:
\mathbf{r}(t)=(3,0,0)+t\big((3,0,4)-(3,0,0)\big)=(3,0,4t).
Então
\mathbf{r}'(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=(0,0,4), \qquad d\mathbf{r}=(0,0,4)\,dt.
No ponto \mathbf{r}(t) temos x=3,\\ y=0,\\ z=4t e
r(t)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3^{2}+(4t)^{2}}=\sqrt{9+16t^{2}}.
Escrevemos \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) e calculamos o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\frac{k(3,\,0,\,4t)}{\big(9+16t^{2}\big)^{3/2}}.
Portanto
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =\frac{k(3,0,4t)\cdot(0,0,4)}{\big(9+16t^{2}\big)^{3/2}} =\frac{k\cdot (4t)\cdot 4}{\big(9+16t^{2}\big)^{3/2}} =\frac{16k\,t}{\big(9+16t^{2}\big)^{3/2}}.
O trabalho é a integral de 0 a 1:
W=\int_{0}^{1}\frac{16k\,t}{\big(9+16t^{2}\big)^{3/2}}\,dt.

Passo 6

Calcule a integral explícita usando substituição adequada:
Faça a substituição \displaystyle u=9+16t^{2}. Então
du=32t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{32}.
Quando t=0 tem-se u=9; quando t=1 tem-se u=25. Substituindo na integral:
W=\int_{u=9}^{u=25}\frac{16k}{u^{3/2}}\cdot\frac{du}{32} =\frac{16k}{32}\int_{9}^{25}u^{-3/2}\,du =\frac{k}{2}\int_{9}^{25}u^{-3/2}\,du.
Calcule a primitiva:
\int u^{-3/2}\,du = -2u^{-1/2} + C.
Logo
W=\frac{k}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{9}^{25} = -k\left[\frac{1}{\sqrt{u}}\right]_{9}^{25} = -k\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\right) = k\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =\frac{2k}{15}.

Passo 7

Conclusão e comparação dos métodos:
  • Pelo método (a), usando a função potencial \varphi=-\dfrac{k}{r}, obteve-se W=\dfrac{2k}{15}.
  • Pelo método (b), integrando diretamente com a parametrização do segmento, obteve-se a mesma resposta W=\dfrac{2k}{15}.
Parabéns — dois métodos distintos, mesma resposta. Isso confirma que o campo é conservativo no caminho considerado e que a técnica da potencial é uma forma muito rápida de calcular o trabalho quando aplicável. Força nos estudos — você já tirou essa! 😃

Resposta

\dfrac{2k}{15}

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