Calcule as integrais de linha a seguir utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
curva suave
a
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo de uma curva suave
que vai do ponto inicial
ao ponto final
.
Informações relevantes dadas:
- A forma diferencial integranda pode ser escrita como
com - A curva
é suave e conecta os pontos e . - Não foi dada uma parametrização explícita de
; a integral deve ser obtida de forma independente da parametrização quando for possível aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada): o Teorema Fundamental das Integrais de Linha diz que, se um campo vetorial
é gradiente de uma função potencial
num domínio que contém a trajetória
(ou seja,
ao longo de
), então a integral de linha é simplesmente a diferença dos valores de
nos extremos:
Explicando passo a passo:
. Se conseguimos encontrar
tal que
e
(ou igual a
, o que dá só uma constante de sinal), então a integral depende só dos pontos finais.
Passo 3
Procurando uma função candidata: a expressão
é muito conhecida como
(onde
é o ângulo polar), pois em coordenadas polares
tem-se
Daí, a nossa integranda é
Outra via equivalente (mais algébrica) é tomar a função
Agora calculemos as derivadas parciais de
para verificar relacionamentos:
usar a regra da cadeia com e
.
usar a regra da cadeia com
Colocando no mesmo denominador:
Analogamente,
Passo 4
Comparando com
e
calculados no Passo 1:
Logo
.
Isto mostra que a forma diferencial dada é exatamente , ou seja
Isto mostra que a forma diferencial dada é exatamente
Portanto podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha com a função potencial
. Assim
Passo 5
Calculemos os ângulos dos pontos inicial e final (usando a arctan na faixa onde os pontos estão, ou seja, primeiro quadrante):
- Ponto inicial
: - Ponto final
:
Usando
obtemos
Passo 6
Simplificando a diferença de ângulos:
Observação de cuidado (importante para prova): a função
tem descontinuidades de ramo se o caminho for tal que o ângulo
variar passando por cortes (por exemplo, envolver a origem uma vez). Aqui os pontos dados estão no primeiro quadrante e presumimos que
é um caminho suave que não passa pela origem nem faz voltas completas em torno dela, de modo que a escolha do ramo principal de
é contínua ao longo de
. Nessa situação a aplicação do Teorema Fundamental é válida e dá o resultado acima.