Calcule as integrais de linha a seguir utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
\int_{C} \frac{y d x-x d y}{x^{2}+y^{2}} C: curva suave (1,1) a (2 \sqrt{3}, 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\frac{y\,dx - x\,dy}{x^{2}+y^{2}}
ao longo de uma curva suave C que vai do ponto inicial (1,1) ao ponto final \bigl(2\sqrt{3},2\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A forma diferencial integranda pode ser escrita como P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • A curva C é suave e conecta os pontos (1,1) e \bigl(2\sqrt{3},2\bigr).
  • Não foi dada uma parametrização explícita de C; a integral deve ser obtida de forma independente da parametrização quando for possível aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada): o Teorema Fundamental das Integrais de Linha diz que, se um campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q) é gradiente de uma função potencial \varphi num domínio que contém a trajetória C (ou seja, \mathbf{F}=\nabla\varphi ao longo de C), então a integral de linha é simplesmente a diferença dos valores de \varphi nos extremos:
\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\varphi\bigl(x(b),y(b)\bigr)-\varphi\bigl(x(a),y(a)\bigr).
Explicando passo a passo: \nabla\varphi=(\partial\varphi/\partial x,\partial\varphi/\partial y). Se conseguimos encontrar \varphi tal que \partial\varphi/\partial x=P e \partial\varphi/\partial y=Q (ou igual a -P,-Q, o que dá só uma constante de sinal), então a integral depende só dos pontos finais.

Passo 3

Procurando uma função candidata: a expressão \dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}} é muito conhecida como d\theta (onde \theta é o ângulo polar), pois em coordenadas polares (x=r\cos\theta,y=r\sin\theta) tem-se
d\theta=\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}.
Daí, a nossa integranda é
\frac{y\,dx-x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{x\,dy-y\,dx}{x^{2}+y^{2}}=-d\theta.
Outra via equivalente (mais algébrica) é tomar a função
\varphi(x,y)=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Agora calculemos as derivadas parciais de \varphi para verificar relacionamentos:
usar a regra da cadeia com u=y/x e \varphi=\arctan(u).
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{d}{dx}\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+(y/x)^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right).
Colocando no mesmo denominador:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac{-y/x^{2}}{(x^{2}+y^{2})/x^{2}} =-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Analogamente,
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{1/x}{1+(y/x)^{2}} =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Comparando com P e Q calculados no Passo 1:
\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right) =\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right).
Logo (P,Q)=\bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}},-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\bigr)=-\nabla\varphi.
Isto mostra que a forma diferencial dada é exatamente -d\varphi, ou seja
\frac{y\,dx-x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=-d\!\left(\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\right).
Portanto podemos aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha com a função potencial \psi(x,y)=-\varphi(x,y)=-\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Assim
\int_{C}\frac{y\,dx-x\,dy}{x^{2}+y^{2}}=\psi\bigl(x_{\text{final}},y_{\text{final}}\bigr)-\psi\bigl(x_{\text{inicial}},y_{\text{inicial}}\bigr).

Passo 5

Calculemos os ângulos dos pontos inicial e final (usando a arctan na faixa onde os pontos estão, ou seja, primeiro quadrante):
  • Ponto inicial (1,1): \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{1}\right)=\dfrac{\pi}{4}.
  • Ponto final \bigl(2\sqrt{3},2\bigr): \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{2}{2\sqrt{3}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}.
Usando \psi=-\arctan(y/x) obtemos
\int_{C}\frac{y\,dx-x\,dy}{x^{2}+y^{2}} =\psi\bigl(2\sqrt{3},2\bigr)-\psi(1,1) =-\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Simplificando a diferença de ângulos:
\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi-2\pi}{12}=\frac{\pi}{12}.
Observação de cuidado (importante para prova): a função \arctan(y/x) tem descontinuidades de ramo se o caminho for tal que o ângulo \theta variar passando por cortes (por exemplo, envolver a origem uma vez). Aqui os pontos dados estão no primeiro quadrante e presumimos que C é um caminho suave que não passa pela origem nem faz voltas completas em torno dela, de modo que a escolha do ramo principal de \arctan é contínua ao longo de C. Nessa situação a aplicação do Teorema Fundamental é válida e dá o resultado acima.

Resposta

\dfrac{\pi}{12}

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