Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
O campo elétrico é sempre conservativo.

Passo 1

O que o enunciado pede: julgar se a afirmativa “O campo elétrico é sempre conservativo.” é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: apenas a frase acima. Se for falsa, o enunciado pede uma justificativa ou contraexemplo.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” — definição e consequências úteis (explicação didática).
  • Um campo vetorial \mathbf{F}(\mathbf{r}) é dito conservativo se a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido entre eles. Em símbolos: para quaisquer pontos A e B,
\int_{A}^{B}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}
depende só de A e B, não do caminho.
  • Propriedades equivalentes (em um domínio simplesmente conexo e sem singularidades):
    • A circulação ao longo de qualquer curva fechada é zero:
    \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0.
    • Existe um potencial escalar \varphi(\mathbf{r}) tal que \mathbf{F}=-\nabla\varphi.
    • O rotor (curl) é nulo:
    \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Intuição prática: num campo conservativo, não se consegue “extrair trabalho” ao fazer uma volta fechada — o trabalho total é zero.

Passo 3

Quando o campo elétrico é conservativo — o caso eletrostático.
  • No caso eletrostático (cargas em repouso, campos não variando no tempo), existe um potencial elétrico V(\mathbf{r}) tal que
\mathbf{E}(\mathbf{r})=-\nabla V(\mathbf{r}).
  • Como o rotor do gradiente é sempre nulo, segue que
\nabla\times\mathbf{E}=\nabla\times(-\nabla V)=\mathbf{0}.
  • Consequência: o campo elétrico eletrostático é conservativo — a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e a circulação em qualquer curva fechada é zero.
  • Exemplo simples: o campo de uma carga puntiforme q,
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\hat{\mathbf r},
é derivado de um potencial V(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}, logo é conservativo.

Passo 4

Por que a afirmativa é falsa em geral — introdução da lei de Faraday (explicação e fórmula).
  • A lei de Faraday (uma das equações de Maxwell) relaciona o rotor do campo elétrico com a variação temporal do campo magnético:
\nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
  • Na forma integral, para uma curva fechada \mathcal{C} que limita uma superfície S,
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=-\dfrac{d}{dt}\Phi_B,
onde \Phi_B=\displaystyle\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} é o fluxo magnético através de S.
  • Interpretação: se o campo magnético \mathbf{B} muda com o tempo ( \partial\mathbf{B}/\partial t\neq\mathbf{0}), então \nabla\times\mathbf{E}\neq\mathbf{0} e portanto \mathbf{E} não é conservativo — a circulação ao redor de um loop pode ser diferente de zero.

Passo 5

Contraexemplo concreto e cálculo (campo elétrico induzido por \partial\mathbf{B}/\partial t).
  • Considere um campo magnético uniforme \mathbf{B}(t)=B(t)\,\hat{\mathbf z} atravessando um disco de raio R. Suponha B(t) variável no tempo (por exemplo, dentro de um solenoide cujo campo está aumentando).
  • Tome uma curva \mathcal{C} circular de raio r centrada no eixo ( r\le R). Por simetria, o campo elétrico induzido será tangencial (azimutal) com módulo E_\theta(r,t) constante na circunferência.
  • Aplicando a forma integral de Faraday:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=E_\theta(r,t)\cdot 2\pi r = -\dfrac{d}{dt}\Phi_B(t)
e para r\le R o fluxo é \Phi_B(t)=B(t)\cdot \pi r^2. Então
E_\theta(r,t)\cdot 2\pi r = -\dfrac{d}{dt}\big(B(t)\pi r^2\big) = -\pi r^2 \dfrac{dB}{dt}.
  • Isolando E_\theta:
E_\theta(r,t) = -\frac{r}{2}\,\dfrac{dB}{dt}.
  • Observação: a circulação \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=-\pi r^2 \dfrac{dB}{dt} é em geral diferente de zero se \dfrac{dB}{dt}\neq 0. Logo \mathbf{E} não é conservativo neste caso.
  • Conclusão do contraexemplo: um campo elétrico induzido por um campo magnético variável tem \nabla\times\mathbf{E}\neq\mathbf{0} e portanto não é conservativo.

Passo 6

Resumo final, dica de prova e tom de incentivo.
  • Conclusão: a afirmativa “O campo elétrico é sempre conservativo.” é falsa. O campo elétrico é conservativo apenas na situação eletrostática (campos independentes do tempo); quando há variação temporal do campo magnético aparecem campos elétricos induzidos que são não conservativos.
  • Dica prática para prova: verificar se há campos magnéticos variando no tempo (ou fontes que geram campos elétricos dependentes do tempo). Se houver \partial\mathbf{B}/\partial t\neq\mathbf{0} então não se pode usar potencial escalar global nem assumir que \oint\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0.
  • Você está indo bem: lembrar esta distinção (eletrostática vs. regime geral de Maxwell) resolve muitas pegadinhas em questões.

Resposta

Falso

Exercícios relacionados