Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Se a afirmativa for falsa, dê em uma justificativa ou um contraexemplo.
O campo elétrico é sempre conservativo.
O campo elétrico é sempre conservativo.
Passo 1
O que o enunciado pede: julgar se a afirmativa “O campo elétrico é sempre conservativo.” é verdadeira ou falsa.
Informações dadas: apenas a frase acima. Se for falsa, o enunciado pede uma justificativa ou contraexemplo.
Informações dadas: apenas a frase acima. Se for falsa, o enunciado pede uma justificativa ou contraexemplo.
Passo 2
O que significa “campo conservativo” — definição e consequências úteis (explicação didática).
- Um campo vetorial
é dito conservativo se a integral de linha entre dois pontos independe do caminho escolhido entre eles. Em símbolos: para quaisquer pontos e ,
depende só de
e
, não do caminho.
- Propriedades equivalentes (em um domínio simplesmente conexo e sem singularidades):
- A circulação ao longo de qualquer curva fechada é zero:
- Existe um potencial escalar
tal que . - O rotor (curl) é nulo:
- Intuição prática: num campo conservativo, não se consegue “extrair trabalho” ao fazer uma volta fechada — o trabalho total é zero.
Passo 3
Quando o campo elétrico é conservativo — o caso eletrostático.
- No caso eletrostático (cargas em repouso, campos não variando no tempo), existe um potencial elétrico
tal que
- Como o rotor do gradiente é sempre nulo, segue que
- Consequência: o campo elétrico eletrostático é conservativo — a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e a circulação em qualquer curva fechada é zero.
- Exemplo simples: o campo de uma carga puntiforme
,
é derivado de um potencial
, logo é conservativo.
Passo 4
Por que a afirmativa é falsa em geral — introdução da lei de Faraday (explicação e fórmula).
- A lei de Faraday (uma das equações de Maxwell) relaciona o rotor do campo elétrico com a variação temporal do campo magnético:
- Na forma integral, para uma curva fechada
que limita uma superfície ,
onde
é o fluxo magnético através de
.
- Interpretação: se o campo magnético
muda com o tempo ( ), então e portanto não é conservativo — a circulação ao redor de um loop pode ser diferente de zero.
Passo 5
Contraexemplo concreto e cálculo (campo elétrico induzido por
).
- Considere um campo magnético uniforme
atravessando um disco de raio . Suponha variável no tempo (por exemplo, dentro de um solenoide cujo campo está aumentando). - Tome uma curva
circular de raio centrada no eixo ( ). Por simetria, o campo elétrico induzido será tangencial (azimutal) com módulo constante na circunferência. - Aplicando a forma integral de Faraday:
e para
o fluxo é
. Então
- Isolando
:
- Observação: a circulação
é em geral diferente de zero se . Logo não é conservativo neste caso. - Conclusão do contraexemplo: um campo elétrico induzido por um campo magnético variável tem
e portanto não é conservativo.
Passo 6
Resumo final, dica de prova e tom de incentivo.
- Conclusão: a afirmativa “O campo elétrico é sempre conservativo.” é falsa. O campo elétrico é conservativo apenas na situação eletrostática (campos independentes do tempo); quando há variação temporal do campo magnético aparecem campos elétricos induzidos que são não conservativos.
- Dica prática para prova: verificar se há campos magnéticos variando no tempo (ou fontes que geram campos elétricos dependentes do tempo). Se houver
então não se pode usar potencial escalar global nem assumir que . - Você está indo bem: lembrar esta distinção (eletrostática vs. regime geral de Maxwell) resolve muitas pegadinhas em questões.
Resposta
Falso