Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
Considere a situação (II): uma partícula de carga q_{1} se encontra em movimento circular uniforme, de raio R_{1} e período T_{1}, com velocidade perpendicular a um campo magnético uniforme. A energia cinética desta partícula é K_{1}. Uma outra partícula de mesma massa e carga q_{2}=3 q_{1} também sob influência deste mesmo campo magnético se encontra em movimento circular uniforme, de raio R_{2} e período T_{2}, descrevendo um movimento no mesmo plano da primeira. A energia cinética associada a esta segunda partícula é K_{2}=9 K_{1}.
( \quad ) R_{2}=9 R_{1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que julguemos a afirmação indicada.
  • Uma partícula tem carga \,q_{1}\,, massa (digamos) \,m\,, move-se em círculo de raio \,R_{1}\, no plano, com velocidade perpendicular a um campo magnético uniforme \,\mathbf{B}\, e período \,T_{1}\,. A energia cinética desta partícula é \,K_{1}\,.
  • Outra partícula tem a mesma massa m e carga \,q_{2}=3q_{1}\,, move-se no mesmo campo \mathbf{B} em movimento circular uniforme de raio \,R_{2}\, e período \,T_{2}\,. A energia cinética desta segunda é \,K_{2}=9K_{1}\,.
  • A afirmação a ser julgada é: \;R_{2}=9R_{1}.

Passo 2

Entender a força que mantém a partícula em movimento circular: a força magnética (força de Lorentz) atua como força centrípeta. Para uma velocidade perpendicular ao campo \mathbf{B}, a magnitude da força magnética é
F_B = |q| v B,
onde \,q\, é a carga, \,v\, a velocidade da partícula e \,B\, a intensidade do campo magnético. A força centrípeta necessária para a trajetória circular é
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa e r o raio da órbita. Igualando as magnitudes (pois a força magnética fornece a centrípeta),
|q| v B = \frac{m v^{2}}{r}.
Dessa igualdade isolamos o raio r:
r = \frac{m v}{|q| B}.
Explicando as variáveis: r é o raio da trajetória, m massa, v velocidade tangencial, |q| módulo da carga e B intensidade do campo magnético. Essa fórmula é central: o raio é proporcional a v e inversamente proporcional a |q| (e a B).

Passo 3

Relacionar velocidade com energia cinética. A energia cinética de uma partícula é
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Dessa expressão isolamos v:
v = \sqrt{\frac{2K}{m}}.
Assim, a velocidade cresce com a raiz da energia cinética: se K aumenta por um fator a, v aumenta por \sqrt{a}.

Passo 4

Usar as expressões anteriores para comparar R_{2} e R_{1}. Pela fórmula do raio,
R_{i} = \frac{m v_{i}}{|q_{i}| B},\qquad i=1,2.
Logo a razão entre raios é
\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{m v_{2}/(|q_{2}| B)}{m v_{1}/(|q_{1}| B)} = \frac{v_{2}}{v_{1}}\cdot\frac{|q_{1}|}{|q_{2}|}.
Agora usamos a relação entre velocidades dada pelas energias:
\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}} = \sqrt{\frac{9K_{1}}{K_{1}}} = \sqrt{9} = 3.
E a razão das cargas é
\frac{|q_{1}|}{|q_{2}|} = \frac{q_{1}}{3q_{1}} = \frac{1}{3}.
Substituindo na razão dos raios:
\frac{R_{2}}{R_{1}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1.
Portanto R_{2}=R_{1}.

Passo 5

Conclusão lógica: o cálculo mostrou que, com q_{2}=3q_{1} e K_{2}=9K_{1}, o aumento da velocidade (fator 3) é exatamente compensado pelo aumento da carga (fator 3 no denominador), resultando em raios iguais. Assim a afirmação \,R_{2}=9R_{1}\, está incorreta.

Resposta

FALSO

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