Julgue os itens: verdadeiro ou falso. Justifique a sua escolha.
Considere a situação (II): uma partícula de carga q_{1} se encontra em movimento circular uniforme, de raio R_{1} e período T_{1}, com velocidade perpendicular a um campo magnético uniforme. A energia cinética desta partícula é K_{1}. Uma outra partícula de mesma massa e carga q_{2}=3 q_{1} também sob influência deste mesmo campo magnético se encontra em movimento circular uniforme, de raio R_{2} e período T_{2}, descrevendo um movimento no mesmo plano da primeira. A energia cinética associada a esta segunda partícula é K_{2}=9 K_{1}.
( \quad ) T_{2}=T_{1} / 3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que devemos julgar:
  • Há duas partículas com a mesma massa m.
  • A primeira tem carga q_{1}, raio de movimento circular R_{1}, período T_{1} e energia cinética K_{1}.
  • A segunda tem carga q_{2}=3q_{1}, raio R_{2}, período T_{2} e energia cinética K_{2}=9K_{1}.
  • Ambas se movem em círculos no mesmo plano, com sua velocidade perpendicular ao campo magnético uniforme \mathbf{B}.
    A pergunta a julgar é: a afirmação “ T_{2}=T_{1}/3” é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Vamos entender a força que mantém cada partícula em movimento circular. Uma partícula com carga q que se move com velocidade v perpendicular a um campo magnético de módulo B sofre a força de Lorentz, cujo módulo é
F_{\text{mag}} = q v B.
Expliquei: o fator \sin\theta aparece na fórmula geral q v B \sin\theta, mas como a velocidade é perpendicular ao campo, \theta=90^\circ e \sin\theta=1.

Passo 3

Numa trajetória circular, a força resultante que mantém a partícula na curva é a força centrípeta, de módulo
F_{\text{cent}} = \frac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa, v é a velocidade tangencial e r é o raio da órbita. Expliquei: esta é a fórmula que dá a força necessária para manter um objeto de massa m descrevendo uma curva de raio r com velocidade v.

Passo 4

Como a única força horizontal que age é a magnética e ela fornece a centrípeta, igualamos os módulos:
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.
Podemos simplificar dividindo por v (assumindo v\neq0), obtendo a relação entre raio, velocidade, carga, massa e campo:
r = \frac{m v}{q B}.
Expliquei: essa fórmula diz que, para um mesmo campo, o raio cresce com o momento linear m v e diminui com a carga q.

Passo 5

Agora vamos achar o período do movimento circular. O período T é o tempo necessário para dar uma volta completa, ou seja,
T = \frac{\text{circunferência}}{\text{velocidade}} = \frac{2\pi r}{v}.ê
Substituindo a expressão de r da etapa anterior,
T = \frac{2\pi}{v}\cdot\frac{m v}{q B} = \frac{2\pi m}{q B}.
Isso é importante: o v cancelou. Portanto o período de giro de uma partícula carregada em campo magnético uniforme (quando v é perpendicular a \mathbf{B}) depende somente de m, q e B, e NÃO depende da velocidade ou da energia cinética.

Passo 6

Aplicamos isso às duas partículas. Para a primeira:
T_{1} = \frac{2\pi m}{q_{1} B}.
Para a segunda:
T_{2} = \frac{2\pi m}{q_{2} B}.
Como q_{2}=3q_{1}, obtemos
T_{2}=\frac{2\pi m}{3 q_{1} B}=\frac{1}{3}\cdot\frac{2\pi m}{q_{1} B}=\frac{T_{1}}{3}.
Logo, pela fórmula do período, a relação T_{2}=T_{1}/3 é verdadeira.

Passo 7

Só para confirmar que a informação K_{2}=9K_{1} não contradiz nada: como K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, a relação K_{2}=9K_{1} implica v_{2}=3v_{1}. Usando r = m v/(q B) com q_{2}=3q_{1} e v_{2}=3v_{1} temos
R_{2}=\frac{m v_{2}}{q_{2} B}=\frac{m(3v_{1})}{(3q_{1})B}=\frac{m v_{1}}{q_{1} B}=R_{1},
ou seja, os raios ficam iguais, e como T=2\pi r/v com r igual e v três vezes maior, T_{2}=T_{1}/3 novamente aparece naturalmente. Então tudo é consistente.

Resposta

Verdadeiro

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