Mostre que a resistência elétrica de um resistor depende da geometria (comprimento e área) e característica intrínseca do material ( \rho ):

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a resistência elétrica de um resistor depende da geometria (comprimento e área) e da propriedade intrínseca do material ( \rho).
Informações e quantidades que usaremos (fornecidas ou naturais no problema): \rho (resistividade do material), comprimento do resistor \,L, área da seção transversal \,A. Vamos também usar a diferença de potencial aplicada \,V e a corrente que atravessa o resistor \,I.
Nada mais será assumido além de um campo elétrico aproximadamente uniforme dentro do resistor e corrente uniforme pela seção — condições típicas de um resistor cilíndrico ou prismático homogêneo.

Passo 2

Definição de densidade de corrente elétrica e sua relação com a corrente total.
A densidade de corrente \,J é a corrente por unidade de área perpendicular ao fluxo. Em termos de \,I e \,A temos:
J=\frac{I}{A}.
Explicação física curta: se eu tenho \,I ampères passando por uma seção de área \,A, então por cada metro quadrado passam \,I/A ampères, que é a densidade de corrente.

Passo 3

Relação entre campo elétrico e diferença de potencial no resistor.
Para um resistor homogêneo em que o campo é aproximadamente uniforme, a diferença de potencial \,V entre as duas extremidades relaciona-se com o campo elétrico médio \,E pela fórmula:
E=\frac{V}{L}.
Intuição: o campo elétrico é a queda de potencial por unidade de comprimento; assim se você tem \,V volts ao longo de um comprimento \,L, o campo médio é \,V/L.

Passo 4

Lei local de Ohm (forma macroscópica do material): relação entre \,E e \,J.
A propriedade intrínseca do material é expressa pela resistividade \,\rho. A forma local da lei de Ohm diz:
E=\rho\,J.
Explicação física: para um material ôhmico, a intensidade do campo elétrico necessária para manter uma densidade de corrente \,J é proporcional à resistividade \,\rho. A resistividade mede quão “difícil” é para cargas se moverem no material. Unidade: \rho tem unidade \Omega\!\cdot\!m.

Passo 5

Substituir as expressões de \,E e \,J em E=\rho J.
Usamos \,E=V/L (Passo 3) e \,J=I/A (Passo 2) dentro de E=\rho J:
\frac{V}{L}=\rho\frac{I}{A}.
Agora isolamos a razão \,V/I, que é a definição de resistência elétrica \,R:
\frac{V}{I}=\rho\frac{L}{A}.

Passo 6

Definição final da resistência e interpretação.
Pela definição \,R=V/I segue-se:
R=\rho\frac{L}{A}.
Interpretação detalhada:
  • Proporcional a \,L: se você dobra o comprimento \,L, a resistência dobra — há o dobro de “caminho” onde as cargas colidem com o material.
  • Inversamente proporcional a \,A: se você dobra a área \,A, a resistência cai pela metade — existem mais “canais” paralelos para a corrente fluir.
  • Proporcional a \,\rho: materiais com maior resistividade oferecem maior oposição ao fluxo de corrente (ex.: \rho grande em isolantes, pequeno em condutores).
    Também vale a forma alternativa usando condutividade \,\sigma=1/\rho:
R=\frac{L}{\sigma A}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar (faz com calma na prova).
Suponha \rho=1\times10^{-6}\\ \Omega\!\cdot\!m, L=0{,}10\\ m e A=1\times10^{-6}\\ m^2. Então
R=\rho\frac{L}{A}=\left(1\times10^{-6}\right)\frac{0{,}10}{1\times10^{-6}}=0{,}10\\ \Omega.
Isso confirma que a fórmula é prática e fácil de aplicar sem calculadora para ordens de grandeza.

Resposta

R=\rho\frac{L}{A}

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