Mostre que a resistência elétrica de um resistor depende da geometria (comprimento e área) e característica intrínseca do material (
):
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a resistência elétrica de um resistor depende da geometria (comprimento e área) e da propriedade intrínseca do material (
).
Informações e quantidades que usaremos (fornecidas ou naturais no problema): (resistividade do material), comprimento do resistor
, área da seção transversal
. Vamos também usar a diferença de potencial aplicada
e a corrente que atravessa o resistor
.
Nada mais será assumido além de um campo elétrico aproximadamente uniforme dentro do resistor e corrente uniforme pela seção — condições típicas de um resistor cilíndrico ou prismático homogêneo.
Informações e quantidades que usaremos (fornecidas ou naturais no problema):
Nada mais será assumido além de um campo elétrico aproximadamente uniforme dentro do resistor e corrente uniforme pela seção — condições típicas de um resistor cilíndrico ou prismático homogêneo.
Passo 2
Definição de densidade de corrente elétrica e sua relação com a corrente total.
A densidade de corrente é a corrente por unidade de área perpendicular ao fluxo. Em termos de
e
temos:
A densidade de corrente
Explicação física curta: se eu tenho
ampères passando por uma seção de área
, então por cada metro quadrado passam
ampères, que é a densidade de corrente.
Passo 3
Relação entre campo elétrico e diferença de potencial no resistor.
Para um resistor homogêneo em que o campo é aproximadamente uniforme, a diferença de potencial entre as duas extremidades relaciona-se com o campo elétrico médio
pela fórmula:
Para um resistor homogêneo em que o campo é aproximadamente uniforme, a diferença de potencial
Intuição: o campo elétrico é a queda de potencial por unidade de comprimento; assim se você tem
volts ao longo de um comprimento
, o campo médio é
.
Passo 4
Lei local de Ohm (forma macroscópica do material): relação entre
e
.
A propriedade intrínseca do material é expressa pela resistividade . A forma local da lei de Ohm diz:
A propriedade intrínseca do material é expressa pela resistividade
Explicação física: para um material ôhmico, a intensidade do campo elétrico necessária para manter uma densidade de corrente
é proporcional à resistividade
. A resistividade mede quão “difícil” é para cargas se moverem no material. Unidade:
tem unidade
.
Passo 5
Substituir as expressões de
e
em
.
Usamos (Passo 3) e
(Passo 2) dentro de
:
Usamos
Agora isolamos a razão
, que é a definição de resistência elétrica
:
Passo 6
Definição final da resistência e interpretação.
Pela definição segue-se:
Pela definição
Interpretação detalhada:
- Proporcional a
: se você dobra o comprimento , a resistência dobra — há o dobro de “caminho” onde as cargas colidem com o material. - Inversamente proporcional a
: se você dobra a área , a resistência cai pela metade — existem mais “canais” paralelos para a corrente fluir. - Proporcional a
: materiais com maior resistividade oferecem maior oposição ao fluxo de corrente (ex.: grande em isolantes, pequeno em condutores).
Também vale a forma alternativa usando condutividade:
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar (faz com calma na prova).
Suponha ,
e
. Então
Suponha
Isso confirma que a fórmula é prática e fácil de aplicar sem calculadora para ordens de grandeza.