Julgue, e justifique, se cada uma das séries abaixo, são convergentes ou divergentes.
(b) sumn=1^+infty e^ne^n+n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^+inftye^ne^n+n
é convergente ou divergente. Vamos usar o teste da divergência, que diz: se o termo geral an não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral:
an = e^ne^n+n
Para ntoinfty, o termo n no denominador é desprezível em comparação com e^n, então
limntoinftyan = limntoinftye^ne^n+n = limntoinfty11 + n,e^-n = 11+0 = 1

Passo 3

Como
limntoinftyan = 1 neq 0,
o teste da divergência garante que a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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