Juraci, pai de Antônio e Beto, tem dois netos: Carlos e Danilo. A família vai passar o final de semana no sítio de Juraci, que, em face de o lugar não ter sinal de internet, procurará organizar um campeonato de bolas de gude (petecas) com duas equipes. Pela madrugada, Juraci foi ao armário pegou as petecas, as dividiu em dois grupos idênticos e verificou que sobrou uma. Então, colocou de volta um grupo no saco e o outro grupo, juntamente com a peteca que sobrou, em outro lugar. Logo depois, Antônio teve a mesma ideia que o pai. Foi ao armário, pegou o saco de petecas, separou-as em dois grupos idênticos e verificou que sobrou uma. Então, devolveu um grupo ao saco, o outro grupo, juntamente com a sobra, guardou em outro local. Momentos depois, Beto teve a mesma ideia que Antônio e o pai. Foi ao armário, pegou o saco de petecas separou-as em dois grupos idênticos e verificou que sobrou uma. Fez o mesmo procedimento do pai e do irmão, ou seja, devolveu um grupo para o saco e o outro grupo, juntamente com a sobra, guardou em outro local. Então, pela manhã, os netos Carlos e Danilo foram ao armário pegaram o saco de petecas e fizeram a divisão em dois grupos idênticos. Verificaram que sobrou uma peteca. Combinaram que ela seria o prêmio do “campeonato de peteca”.
Sabendo que a razão entre as petecas da equipe de Beto e as da equipe de Antonio é igual a \frac{35}{59}, então o número de petecas que o Juraci guardou quando fez a primeira divisão era igual a
a) 24 .
b) 48 .
c) 92 .
d) 94 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pessoas e ações (peguei tudo do enunciado, sem acrescentar nada):
    • Juraci pega as petecas, divide em dois grupos idênticos e sobra uma. Em seguida devolve um dos grupos ao saco e guarda o outro grupo mais a sobra (ou seja, guarda o outro grupo acrescido da peteca que sobrou).
    • Depois Antônio faz exatamente o mesmo procedimento com o conteúdo atual do saco.
    • Depois Beto faz exatamente o mesmo procedimento com o conteúdo atual do saco.
    • Pela manhã, Carlos e Danilo pegam o saco (após todas essas operações) e dividem em dois grupos idênticos e sobra uma (essa sobra será o prêmio).
  • O enunciado diz: a razão entre as petecas da equipe de Beto e as da equipe de Antônio é igual a \dfrac{35}{59}.
  • O que se pede: “o número de petecas que o Juraci guardou quando fez a primeira divisão” — isto é, o número de petecas que Juraci deixou no outro lugar (o grupo que ele guardou juntamente com a sobra). As alternativas são: 24,48,92,94.
Observações essenciais (apenas listando; a resolução começa no Passo 2):
  • Cada pessoa, ao dividir o conteúdo do saco, encontrou resto 1 e procedeu sempre do mesmo modo (devolveu um grupo ao saco e guardou o outro grupo junto com a peteca sobrante).
  • Vou usar variáveis para representar os tamanhos desses grupos e relacioná-los, sem assumir conhecimento prévio seu (vou explicar cada passo).

Passo 2

Definir variáveis claras e traduzir as operações em equações (cada variável e seu significado serão explicados).
  • Seja k_1 o número de petecas que Juraci obteve em cada um dos dois grupos quando fez a primeira divisão (antes de guardar qualquer coisa). Como sobrou uma, o total inicial era 2k_1+1.
  • Juraci guardou “o outro grupo juntamente com a sobra”, ou seja, ele guardou k_1 + 1 petecas. Esse é exatamente o número que o enunciado pede (vou chamá-lo também de S_1):
    S_1 = k_1 + 1.
    Nota: S_1 é o número de petecas guardadas por Juraci na primeira divisão.
  • Depois disso Juraci “devolveu um grupo ao saco”: portanto o saco passou a conter exatamente k_1 petecas (o outro grupo que foi colocado de volta).
  • Quando Antônio pegou o saco, esse saco tinha k_1 petecas. Antônio dividiu esse k_1 em dois grupos idênticos e sobrou uma. Então existe k_2 tal que
    k_1 = 2k_2 + 1.
    Antônio guardou o outro grupo juntamente com a sobra, ou seja, guardou
    S_2 = k_2 + 1.
  • Analogamente, quando Beto pegou o saco este continha k_2 petecas; ele dividiu e sobrou uma, logo existe k_3 com
    k_2 = 2k_3 + 1,
    e Beto guardou
    S_3 = k_3 + 1.
  • Na manhã seguinte o saco continha k_3 petecas; ao dividir encontrou uma sobra (o que também implica k_3 tem a forma 2k_4+1 para algum k_4), mas esse último detalhe não é necessário para a relação entre S_1,S_2,S_3 que vamos usar agora.
Resumo das variáveis e significados:
  • k_1: cada grupo quando Juraci dividiu; total inicial 2k_1+1.
  • S_1 = k_1+1: o que Juraci guardou (é o que o problema pede).
  • k_2: cada grupo quando Antônio dividiu.
  • S_2 = k_2+1: o que Antônio guardou.
  • k_3: cada grupo quando Beto dividiu.
  • S_3 = k_3+1: o que Beto guardou.

Passo 3

Transformar as igualdades entre k's nas relações entre os S's (isto é importante: geralmente é mais simples trabalhar com os quantias guardadas S_i, porque é o que aparece no enunciado).
Das definições:
k_1 = 2k_2 + 1.
Somando 1 em ambos os lados:
k_1 + 1 = 2k_2 + 2 = 2(k_2 + 1).
Pelo significado: k_1+1 = S_1 e k_2+1 = S_2. Portanto:
S_1 = 2 S_2.
Ou seja, a quantidade que Juraci guardou é o dobro da que Antônio guardou.
Do passo seguinte:
k_2 = 2k_3 + 1 \quad\Rightarrow\quad k_2 + 1 = 2(k_3 + 1),
ou seja
S_2 = 2 S_3.
Combinando as duas igualdades:
S_1 = 2 S_2 = 2(2 S_3) = 4 S_3.
Portanto temos uma progressão muito simples e fixa entre as quantidades guardadas:
S_1 : S_2 : S_3 = 4 : 2 : 1.
Vou explicar com palavras: cada vez que alguém faz o procedimento (dividir em dois grupos idênticos e sobrar uma; devolver um grupo ao saco e guardar o outro junto com a sobra), a quantidade guardada nessa operação é exatamente o dobro da quantidade guardada pela pessoa que fará a operação em seguida. Isso é consequência direta das fórmulas acima; é um fato rígido e não depende de escolhas: é uma consequência estrutural do modo como agiram.

Passo 4

Determinar a razão entre as equipes de Beto e Antonio usando as relações obtidas.
Pelo que acabamos de obter:
S_2 = 2 S_3 \quad\Rightarrow\quad \frac{S_3}{S_2} = \frac{1}{2}.
Isto significa que, nos termos do enunciado (onde a “equipe de Beto” é o monte que Beto guardou, S_3, e a “equipe de Antônio” é o monte que Antônio guardou, S_2), a razão entre as petecas da equipe de Beto e as da equipe de Antônio é necessariamente
\frac{S_3}{S_2}=\frac{1}{2}.
Esse valor é uma consequência lógica e inevitável das operações descritas; não depende de quantidades específicas, apenas da forma do procedimento (dividir em dois, sobrar uma, devolver um grupo, guardar o outro com a sobra).

Passo 5

Comparar a razão que obtivemos com a razão informada no enunciado e concluir.
  • A razão que o enunciado nos dá é \dfrac{35}{59}.
  • A razão que a própria descrição do processo força é \dfrac{1}{2}.
Como \dfrac{35}{59} não é igual a \dfrac{1}{2} (pois 35\cdot 2 = 70 \ne 59), há uma contradição entre a razão dada no enunciado e a descrição das operações (que implica \dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{1}{2}).
Portanto os dados do enunciado são inconsistentes: não existe configuração de números inteiros que satisfaça simultaneamente os procedimentos descritos e a igualdade \dfrac{S_3}{S_2}=\dfrac{35}{59}.

Passo 6

Consequências práticas sobre as alternativas dadas.
Mesmo sem a razão contraditória, a relação estrutural S_1 = 2S_2 = 4S_3 impõe restrições aritméticas sobre S_1:
  • S_1 precisa ser múltiplo de 4 (pois S_1 = 4S_3).
  • Além disso, para que todas as divisões sucessivas produzam inteiros e sobra igual a 1 em cada etapa, mais restrições modulares aparecem; por exemplo, para três etapas mais a divisão matinal, S_1 costuma precisar ser múltiplo de 8 (detalhes técnicos que derivam das fórmulas k_2=(S_1-2)/2, k_3=(S_1-4)/4, etc.). Das alternativas dadas, as que são múltiplos de 4 são 24,48,92; os múltiplos de 8 entre elas são 24 e 48. Assim, mesmo ignorando a razão contraditória, a alternativa 94 já é imediatamente incompatível (não dá inteiros nas sucessivas divisões). Entretanto, a informação numérica \dfrac{35}{59} não pode ser satisfeita por nenhuma escolha, porque a razão correta deveria ser 1/2.

Resposta

Os dados do enunciado são inconsistentes: a descrição do processo implica \dfrac{\text{petecas de Beto}}{\text{petecas de Antônio}}=\dfrac{1}{2}ô, diferente de \dfrac{35}{59}. Portanto não é possível determinar um valor que satisfaça simultaneamente todas as condições dadas (nenhuma das alternativas satisfaz a razão indicada).

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