Justificando sua resposta, afirme se a seqência é cescente ou decrescente, se é monotônica, se é limitada superior ou inferiormente, se é limitada, e finalmente se é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é o de sequências numéricas, mais especificamente sobre como identificar se uma sequência é crescente ou decrescente, se é monotônica, limitada e se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções e regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme
aumenta. Observando o denominador
, vemos que à medida que
cresce,
também cresce. Assim, o valor de
diminui porque, com um denominador maior, a fração inteira fica menor.
Passo 3
Isso nos diz que a sequência está decrescente, já que cada termo é menor que o anterior.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é monotônica. Uma sequência é monotônica se é completamente crescente ou completamente decrescente. Como vimos que essa sequência está sempre diminuindo, ela é, de fato, monotônica.
Passo 5
Vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa (limitada superior) e outro que nunca fica abaixo (limitada inferior).
-
Limitada superior: O maior valor que
pode atingir é quando , que é . Então, a sequência é limitada superiormente por . -
Limitada inferior: À medida que
cresce, se aproxima de 0, mas nunca chega a ser negativo. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Como a sequência tem limites superior e inferior, ela é limitada.
Passo 6
Por último, vamos determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, observamos o que acontece com
quando
tende ao infinito.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência
é decrescente, monotônica, limitada superiormente por
e inferiormente por 0, é limitada, e converge para 0.