Justificando sua resposta, afirme se a seqência é cescente ou decrescente, se é monotônica, se é limitada superior ou inferiormente, se é limitada, e finalmente se é convergente ou divergente.
12 n+3

Passo 1

Vamos analisar a sequência . O conteúdo que vamos trabalhar aqui é o de sequências numéricas, mais especificamente sobre como identificar se uma sequência é crescente ou decrescente, se é monotônica, limitada e se ela converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o comportamento das funções e regras básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência se comporta conforme aumenta. Observando o denominador , vemos que à medida que cresce, também cresce. Assim, o valor de diminui porque, com um denominador maior, a fração inteira fica menor.

Passo 3

Isso nos diz que a sequência está decrescente, já que cada termo é menor que o anterior.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é monotônica. Uma sequência é monotônica se é completamente crescente ou completamente decrescente. Como vimos que essa sequência está sempre diminuindo, ela é, de fato, monotônica.

Passo 5

Vamos ver se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que ela nunca ultrapassa (limitada superior) e outro que nunca fica abaixo (limitada inferior).
  • Limitada superior: O maior valor que pode atingir é quando , que é . Então, a sequência é limitada superiormente por .
  • Limitada inferior: À medida que cresce, se aproxima de 0, mas nunca chega a ser negativo. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Como a sequência tem limites superior e inferior, ela é limitada.

Passo 6

Por último, vamos determinar se a sequência converge ou diverge. Para isso, observamos o que acontece com limn to infty 12n+3 = 0 quando tende ao infinito.
Como o limite existe e é finito, a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência é decrescente, monotônica, limitada superiormente por e inferiormente por 0, é limitada, e converge para 0.

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