Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência).
sumn=1^infty nn^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dizer se a série converge ou diverge. A gente vai usar conceitos de séries infinitas e aplicar um teste de convergência para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher qual teste de convergência usar. Olhando para os termos da série, percebemos que para grandes valores de , o denominador é aproximadamente . Então, a série se parece com , que é a famosa série harmônica conhecida por divergir. Isso sugere que podemos usar o Teste da Comparação para comparar nossa série com a série harmônica.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Comparação diretamente. Observe que:
nn^2+5 >= nn^2 + n^2 = n2n^2 = 12n
Então, temos:
sumn=1^infty nn^2+5 >= sumn=1^infty 12n = 12 sumn=1^infty 1n
Como a série diverge e nossa série é maior ou igual a ela multiplicada por , pelo Teste da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação.

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