Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam x, y e z números reais não nulos.
x /(y+z)=x / y+x / z

Passo 1

O enunciado dá que x, y e z são números reais não nulos e apresenta a igualdade
\frac{x}{y+z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{z}.
A tarefa é justificar por que essa igualdade está FALSA. Listei as informações relevantes:
  • x\neq0, y\neq0, z\neq0.
  • Para que o membro esquerdo faça sentido, também é necessário y+z\neq0 (caso contrário \frac{x}{y+z} não está definido).
  • Queremos mostrar que, com essas hipóteses, a igualdade não pode ocorrer (ou seja, não existe tripla (x,y,z) reais não nulos que satisfaça).

Passo 2

Primeiro vou manipular o membro direito para escrevê‑lo como uma única fração. Para somar frações com denominadores diferentes, uso o denominador comum. Explico o passo a passo:
  • Começo com \dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}.
  • Coloco em evidência x: \dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}=x\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right).
  • Agora somo \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}. O denominador comum é yz, então
\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{z}{yz}+\frac{y}{yz}=\frac{y+z}{yz}.
  • Portanto
\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=x\cdot\frac{y+z}{yz}=\frac{x(y+z)}{yz}.

Passo 3

Agora reescrevo a igualdade original usando o resultado do passo anterior. A igualdade \dfrac{x}{y+z}=\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z} torna‑se
\frac{x}{y+z}=\frac{x(y+z)}{yz}.
Como x\neq0, posso dividir ambos os lados por x (divisão por x é válida e preserva a igualdade). Assim obtenho
\frac{1}{y+z}=\frac{y+z}{yz}.

Passo 4

Agora resolvo a equação obtida. Posso fazer a multiplicação cruzada (válida porque assumimos y\neq0, z\neq0 e também y+z\neq0):
1\cdot (yz) = (y+z)\cdot(y+z).
Ou seja,
yz=(y+z)^2.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
yz = y^2 + 2yz + z^2.

Passo 5

Levo tudo para um lado para formar uma equação polinomial:
0 = y^2 + 2yz + z^2 - yz = y^2 + yz + z^2.
Portanto qualquer solução real teria que satisfazer
y^2 + yz + z^2 = 0.

Passo 6

Analisemos a equação em y (ou em z). Trata‑se de um quadrático em y:
y^2 + y z + z^2 = 0.
Para um polinômio quadrático ay^2+by+c=0 com coeficientes reais, a condição para existir raiz real é que o discriminante \Delta=b^2-4ac seja \ge0. Aqui a=1, b=z, c=z^2. Então
\Delta = z^2 - 4\cdot 1\cdot z^2 = z^2 - 4z^2 = -3z^2.
Como z\neq0, temos z^2>0 e assim \Delta = -3z^2 < 0.

Passo 7

Discriminante negativo significa que não existem raízes reais para a equação y^2+yz+z^2=0. Logo não há números reais y (com z\neq0) que satisfaçam essa equação. Isso implica que não existe tripla de reais não nulos x,y,z (com y+z\neq0) que torne verdadeira a igualdade original. Portanto a igualdade é impossível sob as hipóteses dadas.

Passo 8

Um contra‑exemplo numérico rápido ilustra a falsidade na prática: escolha \,x=1, \,y=1, \,z=1. Então
\frac{x}{y+z}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2},
enquanto
\frac{x}{y}+\frac{x}{z}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2.
Como \tfrac{1}{2}\neq2, a igualdade falha. Isso é consistente com a prova algébrica anterior.

Resposta

FALSO

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