Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam
, y e
números reais não nulos.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são números reais não nulos e apresenta a igualdade
A tarefa é justificar por que essa igualdade está FALSA. Listei as informações relevantes:
-
, , . - Para que o membro esquerdo faça sentido, também é necessário
(caso contrário não está definido). - Queremos mostrar que, com essas hipóteses, a igualdade não pode ocorrer (ou seja, não existe tripla
reais não nulos que satisfaça).
Passo 2
Primeiro vou manipular o membro direito para escrevê‑lo como uma única fração. Para somar frações com denominadores diferentes, uso o denominador comum. Explico o passo a passo:
- Começo com
. - Coloco em evidência
: . - Agora somo
. O denominador comum é , então
- Portanto
Passo 3
Agora reescrevo a igualdade original usando o resultado do passo anterior. A igualdade
torna‑se
Como
, posso dividir ambos os lados por
(divisão por
é válida e preserva a igualdade). Assim obtenho
Passo 4
Agora resolvo a equação obtida. Posso fazer a multiplicação cruzada (válida porque assumimos
,
e também
):
Ou seja,
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Passo 5
Levo tudo para um lado para formar uma equação polinomial:
Portanto qualquer solução real teria que satisfazer
Passo 6
Analisemos a equação em
(ou em
). Trata‑se de um quadrático em
:
Para um polinômio quadrático
com coeficientes reais, a condição para existir raiz real é que o discriminante
seja
. Aqui
,
,
. Então
Como
, temos
e assim
.
Passo 7
Discriminante negativo significa que não existem raízes reais para a equação
. Logo não há números reais
(com
) que satisfaçam essa equação. Isso implica que não existe tripla de reais não nulos
(com
) que torne verdadeira a igualdade original. Portanto a igualdade é impossível sob as hipóteses dadas.
Passo 8
Um contra‑exemplo numérico rápido ilustra a falsidade na prática: escolha
,
,
. Então
enquanto
Como
, a igualdade falha. Isso é consistente com a prova algébrica anterior.
Resposta
FALSO