F(x)= \begin{cases}|x-1| & \text { se } x<-1 \\\\ 0 & \text { se } x=-1 \\\ |1-x| & \text { se }-1<x\end{cases}
(a) \lim _{x \rightarrow-1^{+}} F(x); (b) \lim _{x \rightarrow-1^{-}} F(x); (c) \lim _{x \rightarrow-1} F(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)= \begin{cases}|x-1| & \text{se } x<-1\\[4pt] 0 & \text{se } x=-1\\[4pt] |1-x| & \text{se } -1<x\end{cases}
Perguntas do exercício:
(a) Calcular \lim_{x\to -1^{+}} F(x).
(b) Calcular \lim_{x\to -1^{-}} F(x).
(c) Calcular \lim_{x\to -1} F(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para x<-1, F(x)=|x-1|.
  • Para x=-1, F(x)=0.
  • Para -1<x, F(x)=|1-x|.]

Passo 2

Entender a propriedade do valor absoluto que vamos usar. O valor absoluto tem a propriedade
|a| = |-a|
para qualquer número real a. Aplicando isso a x-1 e 1-x temos
x-1 = -(1-x) \quad\text{logo}\quad |x-1| = |-(1-x)| = |1-x|.
Isso mostra que as expressões |x-1| e |1-x| são numericamente iguais para qualquer x. Em palavras: trocar a ordem dentro do módulo só muda o sinal interno, e o módulo anula o sinal.

Passo 3

Definição prática de limite lateral e uso da continuidade para avaliação por substituição. Quando avaliamos \lim_{x\to -1^{+}} F(x) estamos pegando valores de F(x) para x>-1 que se aproximam de -1. Nessa região o enunciado nos diz que F(x)=|1-x|. A função x\mapsto 1-x é contínua e a função valor absoluto t\mapsto |t| também é contínua; a composição de funções contínuas é contínua. Portanto podemos avaliar o limite por substituição direta no ponto x=-1.

Passo 4

Cálculo de \lim_{x\to -1^{+}} F(x). Usando a expressão válida para -1<x,
\lim_{x\to -1^{+}} F(x) = \lim_{x\to -1^{+}} |1-x| = |1-(-1)|.
Agora calculamos passo a passo: 1-(-1)=2 e |2|=2. Logo
\lim_{x\to -1^{+}} F(x)=2.

Passo 5

Cálculo de \lim_{x\to -1^{-}} F(x). Aqui estamos aproximando -1 por valores com x<-1, e nessa região F(x)=|x-1|. Pelo passo 2 sabemos que |x-1|=|1-x|, mas podemos também avaliar diretamente por substituição (mesmo argumento de continuidade da composição). Assim
\lim_{x\to -1^{-}} F(x) = \lim_{x\to -1^{-}} |x-1| = |(-1)-1|.
Calculando: (-1)-1=-2 e |-2|=2. Portanto
\lim_{x\to -1^{-}} F(x)=2.

Passo 6

Determinar o limite bilateral \lim_{x\to -1} F(x). Regra: a \lim_{x\to -1} F(x) existe e vale um número L se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais. Aqui obtivemos
\lim_{x\to -1^{+}} F(x)=2 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -1^{-}} F(x)=2,
ambos iguais a 2. Logo o limite bilateral existe e vale 2:
\lim_{x\to -1} F(x)=2.

Passo 7

Observação final (útil na prova): o valor da função no ponto é F(-1)=0 dado pelo enunciado, diferente de 2. Isso significa que F tem uma descontinuidade em x=-1. Como ao redefinir F(-1)=2 a função ficaria contínua naquele ponto, essa descontinuidade é do tipo removível.

Resposta

(a) \lim_{x\to -1^{+}} F(x)=2
(b) \lim_{x\to -1^{-}} F(x)=2
(c) \lim_{x\to -1} F(x)=2

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