Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam x, y e z números reais não nulos.
x^{\wedge}(y+z)=x^{\wedge} y+x^{\wedge} z

Passo 1

O enunciado diz: sejam x, y e z números reais não nulos. A afirmação a analisar é
x^{(y+z)} = x^{y} + x^{z}.
O pedido é justificar por que essa afirmação é FALSA (ou seja, não é verdadeira em geral). As informações relevantes: x,y,z são números reais não nulos; note que, para que x^{y} esteja bem definido como número real para todo real y, precisamos normalmente de x>0 (casos com x\le 0 e expoentes reais são complicados e não fazem a identidade tornar-se uma verdade geral). Vou trabalhar no caso x>0 (caso natural para potências reais) e mostrar que a igualdade não é uma identidade verdadeira.

Passo 2

Lembrete da propriedade correta de potências (a coisa chave que você tem de lembrar na prova): para qualquer base x>0 e qualquer y,z\in\mathbb{R} vale a regra
x^{(y+z)} = x^{y}\cdot x^{z}.
Explicação didática curta: para y,z inteiros isso vem da multiplicação repetida (por exemplo x^{m+n}=x^m\cdot x^n). Para expoentes reais, definimos x^t = e^{t\ln x} quando x>0; então
x^{(y+z)} = e^{(y+z)\ln x} = e^{y\ln x}\cdot e^{z\ln x} = x^y\cdot x^z.
Portanto a propriedade correta transforma soma de expoentes em produto de potências, nunca em soma de potências.

Passo 3

Comparando a propriedade correta com a afirmação dada, vemos que a igualdade proposta
x^{(y+z)} = x^{y} + x^{z}
seria equivalente, usando a regra certa, a
x^{y}\cdot x^{z} = x^{y} + x^{z}.
Para simplificar a análise, defina a := x^{y} e b := x^{z}. Para x>0 temos a>0 e b>0. A igualdade torna-se
ab = a + b.

Passo 4

Resolva a equação ab = a + b. Reorganizando:
ab - a - b = 0.
Adicione 1 a ambos os lados e fatorize:
ab - a - b + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad (a-1)(b-1) = 1.
Portanto, para que a igualdade original seja verdadeira, os números a e b (ou seja, x^{y} e x^{z}) precisam satisfazer a relação
(a-1)(b-1) = 1.
Isto mostra que a igualdade não é uma identidade livre: ela impõe uma condição rígida entre a e b. Em particular, não vale para todas as escolhas de a e b, logo não vale para todas as escolhas de x,y,z.

Passo 5

Para ficar bem concreto: basta um contraexemplo para concluir que a afirmação é falsa em geral. Escolha, por exemplo, \;x=2,\; y=2,\; z=1. Calcule os dois lados:
\text{Lado esquerdo: } x^{(y+z)} = 2^{2+1} = 2^{3} = 8.
\text{Lado direito: } x^{y} + x^{z} = 2^{2} + 2^{1} = 4 + 2 = 6.
Como 8 \neq 6, a igualdade não se verifica para essa escolha — logo não é verdade em geral. Conclusão: a afirmação é FALSA.

Passo 6

Observação adicional (útil para entender completamente quando pode ocorrer igualdade): a condição (a-1)(b-1)=1 admite soluções (por exemplo a=b=2 (2-1)(2-1)=1), então existem escolhas particulares de x,y,z que fazem a igualdade acontecer (por exemplo x=2,\;y=z=1 2^{2}=2+2). Mas essas são exceções pontuais — a igualdade não é uma identidade verdadeira para todos os x,y,z. Em provas, lembrar que a regra correta é transformar soma de expoentes em produto de potências basta para argumentar que a forma dada é errada, e um contraexemplo conclui o raciocínio.

Resposta

FALSO

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