Justificar o motivo de cada item abaixo estar FALSO: Sejam
, y e
números reais não nulos.
Passo 1
O enunciado diz: sejam
,
e
números reais não nulos. A afirmação a analisar é
O pedido é justificar por que essa afirmação é FALSA (ou seja, não é verdadeira em geral). As informações relevantes:
são números reais não nulos; note que, para que
esteja bem definido como número real para todo real
, precisamos normalmente de
(casos com
e expoentes reais são complicados e não fazem a identidade tornar-se uma verdade geral). Vou trabalhar no caso
(caso natural para potências reais) e mostrar que a igualdade não é uma identidade verdadeira.
Passo 2
Lembrete da propriedade correta de potências (a coisa chave que você tem de lembrar na prova): para qualquer base
e qualquer
vale a regra
Explicação didática curta: para
inteiros isso vem da multiplicação repetida (por exemplo
). Para expoentes reais, definimos
quando
; então
Portanto a propriedade correta transforma soma de expoentes em produto de potências, nunca em soma de potências.
Passo 3
Comparando a propriedade correta com a afirmação dada, vemos que a igualdade proposta
seria equivalente, usando a regra certa, a
Para simplificar a análise, defina
e
. Para
temos
e
. A igualdade torna-se
Passo 4
Resolva a equação
. Reorganizando:
Adicione
a ambos os lados e fatorize:
Portanto, para que a igualdade original seja verdadeira, os números
e
(ou seja,
e
) precisam satisfazer a relação
Isto mostra que a igualdade não é uma identidade livre: ela impõe uma condição rígida entre
e
. Em particular, não vale para todas as escolhas de
e
, logo não vale para todas as escolhas de
.
Passo 5
Para ficar bem concreto: basta um contraexemplo para concluir que a afirmação é falsa em geral. Escolha, por exemplo,
. Calcule os dois lados:
Como
, a igualdade não se verifica para essa escolha — logo não é verdade em geral. Conclusão: a afirmação é FALSA.
Passo 6
Observação adicional (útil para entender completamente quando pode ocorrer igualdade): a condição
admite soluções (por exemplo
dá
), então existem escolhas particulares de
que fazem a igualdade acontecer (por exemplo
dá
). Mas essas são exceções pontuais — a igualdade não é uma identidade verdadeira para todos os
. Em provas, lembrar que a regra correta é transformar soma de expoentes em produto de potências basta para argumentar que a forma dada é errada, e um contraexemplo conclui o raciocínio.
Resposta
FALSO